[論文レビュー] A Wiener--Hopf Monte Carlo simulation technique for Lévy processes

A. Kuznetsov, Andreas E. Kyprianou+2 more|Dec 23, 2009

Probability and Risk Models参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、固定時刻における位置と走る最大値の同時分布の正確なサンプリングを可能にする、Lévy過程における新しいウィーナー・ホフ・モンテカルロシミュレーション手法を提案する。ウィーナー・ホフ分解およびスケール関数と分解理論の最近の進展を活用することで、古典的モンテカルロ法と比較して、特にバリア近辺で優れた精度を達成する。これは、上界分布における不連続性および原点質量（atoms）を的確に捉える能力に起因する。

ABSTRACT

We develop a completely new and straightforward method for simulating the joint law of the position and running maximum at a fixed time of a general Lévy process with a view to application in insurance and financial mathematics. Although different, our method takes lessons from Carr's so-called "Canadization" technique as well as Doney's method of stochastic bounds for Lévy processes; see Carr [Rev. Fin. Studies 11 (1998) 597--626] and Doney [Ann. Probab. 32 (2004) 1545-1552]. We rely fundamentally on the Wiener-Hopf decomposition for Lévy processes as well as taking advantage of recent developments in factorization techniques of the latter theory due to Vigon [Simplifiez vos Lévy en titillant la factorization de Wiener-Hopf (2002) Laboratoire de Mathématiques de L'INSA de Rouen] and Kuznetsov [Ann. Appl. Probab. 20 (2010) 1801--1830]. We illustrate our Wiener--Hopf Monte Carlo method on a number of different processes, including a new family of Lévy processes called hypergeometric Lévy processes. Moreover, we illustrate the robustness of working with a Wiener--Hopf decomposition with two extensions. The first extension shows that if one can successfully simulate for a given Lévy processes then one can successfully simulate for any independent sum of the latter process and a compound Poisson process. The second extension illustrates how one may produce a straightforward approximation for simulating the two-sided exit problem.

研究の動機と目的

• 一般のLévy過程とその走る最大値の同時分布を正確にシミュレートする、堅牢で正確なシミュレーション手法の開発。
• 特にバリア近辺で上界分布における不連続性および原点質量を捉えることが難しい古典的モンテカルロ法の限界を克服すること。
• 金融・保険数理における既存のシミュレーション手法に対する、数値的に効率的で理論的に根拠のある代替手法の提供。
• 理論的境界を用いて、複合ポアソン摂動および二面的抜出し問題への応用を含めた手法の拡張。

提案手法

• Lévy過程のウィーナー・ホフ分解を用いて、$ (X_t, \bar{X}_t) $ の同時分布を独立な成分に分解する。
• 最近のスケール関数およびウィーナー・ホフ分解理論の進展を活用し、上昇および下降ラッダーヘイトプロセスの正確なシミュレーションに依存する。
• ランダムな時刻 $ \tau $ を $ t $ の周辺に分布させるアルゴリズムを採用し、$ (X_\tau, \bar{X}_\tau) $ の分布が $ (X_t, \bar{X}_t) $ と高精度で近似されることを保証する。
• 有界変動性を示す過程では、古典的モンテカルロとは異なり、上界分布における原点質量を正しく捉えることができる。
• 独立な複合ポアソン成分と組み合わせることで、摂動付きLévy過程のシミュレーションへの応用を拡張する。
• 単調性の性質とウィーナー・ホフ分解を用いて、二面的抜出し問題のための理論的境界を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のLévy過程に対して、$ (X_t, \bar{X}_t) $ の同時分布を正確にサンプリングできるモンテカルロ手法を開発できるか？
• RQ2 不連続なペイオフを持つバリアオプションをシミュレートする際、ウィーナー・ホフ・モンテカルロ法は古典的モンテカルロ法と比べてどのように性能を発揮するか？
• RQ3 上半直線が不規則な場合でも、上界分布における原点質量を正確に捉えることができるか？
• RQ4 この手法は、摂動付きLévy過程および二面的抜出し問題のシミュレーションにどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• ウィーナー・ホフ・モンテカルロ法は、上界分布における原点質量を正しくモデル化できるため、初期株価がバリアに近い場合に古典的モンテカルロ法よりも著しく高い精度を達成する。
• 上半直線が不規則な場合、上昇アウト・バリア・オプションの価格に不連続性が生じるが、この特徴が古典的モンテカルロ法では捉えられず、ウィーナー・ホフ法では正しく再現される。
• パラメータセット1では、古典的モンテカルロ法が上界分布に誤った原点質量を生成し、大きな誤差を引き起こす一方、ウィーナー・ホフ法はこのバイアスを回避する。
• 有界変動性を示すパラメータセット2では、古典的モンテカルロ法と同等の性能を示すが、ウィーナー・ホフ法は依然としてより正確で理論的に整合性のあるフレームワークを提供する。
• 二重ノータッチ・バリア・オプションの価格に対して、上界および下界を効果的に生成することができ、古典的モンテカルロ法の結果は、上界を常に上回っている。これは、上界および下界推定におけるバイアスの累積によるものである。
• アルゴリズムは、ハイパージェオメトリックLévy過程を含むさまざまなLévy過程に対して堅牢に機能し、その広範な適用可能性を確認した。