[論文レビュー] A Wilf equivalence related to two stack sortable permutations

David Callan|ArXiv.org|Oct 11, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、3-5-2-4-1パターン条件を満たす（3-5-2-4-1-satisfying）置換と、ダッシュパターン31-4-2を避ける置換の間で、ウィルフ同値性を確立する。左から右への最大値（LRmax）に基づく再帰的双対写像と、3-2-1-および3-1-2-を避ける置換の既知の特徴づけを用いて、著者たちはこれらのクラスが同数であることを示し、2つの明らかに異なるパターン回避条件の間に構造的な関係を、LRmax仕様を保存する双対写像を通じて結ぶ。

ABSTRACT

A permutation is so-called two stack sortable if it (i) avoids the (scattered) pattern 2-3-4-1, and (ii) contains a 3-2-4-1 pattern only as part of a 3-5-2-4-1 pattern. Here we show that the permutations on [n] satisfying condition (ii) alone are equinumerous with the permutations on [n] that avoid the mixed scattered/consecutive pattern 31-4-2. The proof uses a known bijection from 3-2-1-avoiding to 3-1-2-avoiding permutations.

研究の動機と目的

• 異なるパターン条件によって定義される2つの置換クラスの間のウィルフ同値性を確立すること。
• リチャード・ブルーディが提起した、3-5-2-4-1-satisfying置換の数え上げに関する問題を解決すること。
• 置換 [n] における3-5-2-4-1-satisfying置換の数が、31-4-2-avoiding置換の数に等しいことを示すこと。
• 左から右への最大値と既知の3-2-1/3-1-2回避特徴づけを用いて、これらの同数クラスの間の構成的双対写像を提供すること。
• 混合された散在/連続パターンを含む1つのパターンと、より複雑な5文字パターン条件を含むもう1つのパターンの間のパターン回避ウィルフ同値性を、より深く理解すること。

提案手法

• 置換をその左から右への最大値（LRmax）仕様（P, M）で特徴づける。ここでPはLRmaximaの位置の列、Mは値の列である。
• 各LRmax仕様に対して最小および最大の置換を定義する：最小は使用されていない最小の要素でボックスを埋める。最大は新たなLRmaxを作らない最大の要素で埋める。
• 既知の双対写像を用いて、LRmax仕様を通じて3-2-1-を避ける（最小）置換と3-1-2-を避ける（最大）置換の間を結ぶ。
• 再帰的特徴づけを確立する：置換が3-5-2-4-1-satisfyingであるための必要十分条件は、各LRmaxima間のブロックLiが3-5-2-4-1-satisfyingであり、ブロックの昇順に並べたもの（ソート済み）が3-2-1-を避けることである。
• 同様に、置換が31-4-2-avoidingであるための必要十分条件は、各Liが31-4-2-avoidingであり、ブロックの降順に並べたもの（ソート済み）が3-1-2-を避けることである。
• LRmax仕様を保存する再帰的双対写像を構成し、3-5-2-4-1-satisfying置換を31-4-2-avoiding置換に写像する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのnに対して、[n] 上の3-5-2-4-1-satisfying置換の数と31-4-2-avoiding置換の数は等しいか？
• RQ2 LRmax構造を保存する構成的双対写像を、3-5-2-4-1-satisfying置換と31-4-2-avoiding置換の間で定義できるか？
• RQ3 左から右への最大値の間のブロックにどのような構造的条件が、3-5-2-4-1満たしや31-4-2回避を保証するか？
• RQ4 最小および最大の置換による3-2-1-および3-1-2-回避の既知の特徴づけは、より複雑なパターン条件にどのように拡張されるか？
• RQ5 これらの2つのパターンクラスの間のウィルフ同値性の背後には、より深い組合せ論的根拠があるか？

主な発見

• 置換 [n] における3-5-2-4-1-satisfying置換の数は、31-4-2-avoiding置換の数に等しく、ウィルフ同値性が確立された。
• 同値性は、置換の左から右への最大値仕様を保存する再帰的双対写像によって証明された。
• 双対写像は、各LRmax仕様に対して最小（3-2-1-を避ける）と最大（3-1-2-を避ける）置換の間の既知の対応を用いて構成された。
• 左から右への最大値の間の各ブロックLiが、それぞれのパターン条件（3-5-2-4-1または31-4-2）を個別に満たすことが、全体の置換がグローバル条件を満たすために不可欠である。
• ブロックのソート版—3-5-2-4-1-satisfyingの場合には昇順、31-4-2-avoidingの場合には降順—がそれぞれ3-2-1-を避けるか、3-1-2-を避ける必要があり、これによりグローバル構造が保たれる。
• 本結果は、混合された散在/連続パターンを含む1つのパターンクラスと、より複雑な5文字パターン条件を含むもう1つのパターンクラスの間の、ウィルフ同値性の新しい例を提供する。