[論文レビュー] A Z_2-orbifold model of the symplectic fermionic vertex operator superalgebra

Toshiyuki Abe|ArXiv.org|Mar 23, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、$d$ ペアのシンプレクティックフェルミオンから生成されるシンプレクティックフェルミオン的頂点 operator 超代数 $SF$ の $\field{Z}_2$-軌道型として、中心指数 $-2d$ の無理的 $C_2$-cofinite な頂点 operator 代数 $SF^+$ を構成する。すべての既約モジュールを分類し、自己同型群が $Sp(2d,\mathbb{C})/\langle\theta\rangle$ に同型であることを証明する。$d=1$ の場合に $c=-2$ トリプレット代数を実現し、より高い $d$ へと一般化する。この構成は Zhu の代数および $\field{Z}_2$-軌道型の表現論に依拠する。

ABSTRACT

We construct an irrational C_2-cofinite vertex operator algebra associatted to a finite dimensional vector space with a nondegenerate skew-symmetric bilinear form. We also classify its equivalence classes of irreducible modules and determine its automorphism group.

研究の動機と目的

• 任意の正の整数 $d$ に対して、中心指数 $-2d$ の無理的 $C_2$-cofinite な頂点 operator 代数を構成すること。
• この頂点 operator 代数のすべての既約モジュールを分類すること。
• 構成された頂点 operator 代数の自己同型群を特定すること。
• Kausch の $c=-2$ トリプレット代数の実現を、シンプレクティックフェルミオンを用いてより高い $d$ へと一般化すること。

提案手法

• 非退化な歪対称形式を $\mathfrak{h}$ に持つフォック空間構成により、$d$ ペアのシンプレクティックフェルミオンから頂点 operator 超代数 $SF$ を構成する。
• 基底 $\{e^i, f^i\}$ を $\mathfrak{h}$ にとり、$\langle f^i, e^j\rangle = \delta_{ij}$ を満たすようにする。これにより、中心指数 $c = -2d$ を持つ Virasoro ベクトルを定義する。
• $SF$ の偶数部 $SF^+$ を、標準的自己同型 $\theta$ による $\field{Z}_2$-軌道型として構成し、$SF^+$ を頂点 operator 代数とする。
• Zhu の代数およびモジュール論を用いて、$d=1$ および $d\geq 2$ の場合に $A(SF^+)$-モジュールの分析により、$SF^+$-既約モジュールを分類する。
• $d=1$ の場合の直接計算により $SF^+$ の $C_2$-cofiniteness を証明し、テンソル積構造を用いて一般化する。
• モジュールの同型および双線形形式の不変性を用いて、$\operatorname{Aut}(SF^+)$ が $Sp(2d,\mathbb{C})/\langle\theta\rangle$ に同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティックフェルミオン的頂点 operator 超代数の $\field{Z}_2$-軌道型の構造は何か？また、その中心指数は何か？
• RQ2 この軌道型頂点 operator 代数のすべての既約モジュールをどのように分類できるか？
• RQ3 得られた頂点 operator 代数 $SF^+$ の自己同型群は何か？
• RQ4 $d=1$ の場合の $C_2$-cofiniteness とテンソル積構造から、$SF^+$ の $C_2$-cofiniteness はどのように導かれるか？
• RQ5 $d=1$ の場合に $c=-2$ トリプレット代数がシンプレクティックフェルミオン VOSA の偶数部として実現されるか？また、より高い $d$ へと一般化可能か？

主な発見

• 頂点 operator 代数 $SF^+$ は中心指数 $-2d$ を持ち、任意の正の整数 $d$ に対して $C_2$-cofinite である。$C_2$-cofiniteness は $d=1$ の場合に直接証明された。
• $d=1$ の場合、$SF^+$-既約モジュールは $SF^+$、$SF^-$、および2つのねじれモジュール $SF(\theta)^\pm$ に同型であり、完全な分類が得られた。
• $d \geq 2$ の場合、$SF^+$-既約モジュールは $d=1$ のモジュールのテンソル積であり、$A(SF^+)$-モジュールの分析により完全な分類が得られた。
• $SF^+$ の自己同型群は $Sp(2d,\mathbb{C})/\langle\theta\rangle$ に同型であり、ここで $\theta$ は標準的自己同型である。
• $M = SF^\pm, SF(\theta)^\pm$ のための特徴 $S_M(\tau)$ は互いに相異なるため、$SF^+$ の任意の自己同型 $g$ はスカラー倍を除いてモジュール構造に自明に作用する。
• 自然な準同型 $Sp(2d,\mathbb{C}) \to \operatorname{Aut}(SF^+)$ は全射であり、$\operatorname{Aut}(SF^+) \cong Sp(2d,\mathbb{C})/\langle\theta\rangle$ が確認された。