[論文レビュー] Curiosities at c=-2

Horst G. Kausch|ArXiv.org|Oct 20, 1995

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 25被引用数 92

ひとこと要約

本稿は中心電荷 $c = -2$ の conformal field theory を調査し、$(\xi,\eta)$ ゲージ系とコロンブ・ガス構成に焦点を当てる。これらのモデルが非可約だが非分解可能なバーリンゾ代数表現を必要とすることを示し、それによって対数的演算子が生じることを明らかにする。著者らは、グローバル $SL(2)$ 対称性を持つシンプレクティックフェルミオンを用いてこのような演算子を構成し、$SL(2)$-オルビー・モデルを分類し、それらが孤立しており質量零のフローによって接続されないことを示す。

ABSTRACT

Conformal field theory at $c=-2$ provides the simplest example of a theory with ``logarithmic'' operators. We examine in detail the $(ξ,η)$ ghost system and Coulomb gas construction at $c=-2$ and show that, in contradistinction to minimal models, they can not be described in terms of conformal families of {\em primary\/} fields alone but necessarily contain reducible but indecomposable representations of the Virasoro algebra. We then present a construction of ``logarithmic'' operators in terms of ``symplectic'' fermions displaying a global $SL(2)$ symmetry. Orbifolds with respect to finite subgroups of $SL(2)$ are reminiscent of the $ADE$ classification of $c=1$ modular invariant partition functions, but are isolated models and not linked by massless flows.

研究の動機と目的

• 中心電荷 $c = -2$ の conformal field theory を理解すること。これは非最小的かつ非ユニタリであり、対数的性質を示す。
• 中心電荷 $c = -2$ における $(\xi,\eta)$ ゲージ系とコロンブ・ガス構成を分析し、非可約だが非分解可能なバーリンゾ代数表現を含むことの証明。
• グローバル $SL(2)$ 対称性を持つシンプレクティックフェルミオンを用いて対数的演算子を構成すること。
• $c = -2$ における $SL(2)$-オルビー・モデルを分類し、そのモジュラー性および摂動による安定性を検討すること。

提案手法

• 作用 $S = \frac{1}{2\pi} \int \eta \bar{\partial}\xi + \bar{\eta} \partial \bar{\xi}$ を持つ $(\xi,\eta)$ ゲージ系を用いて、非自明な演算子内容を持つ $c = -2$ CFT を定義。
• 一次元でもなく、従属でもない場の特定を行い、バーリンゾ代数の非可約だが非分解可能な表現を形成する。
• $\eta_0$ の核を介して「小さな」代数を構成し、$U(1)$ 対称性をグローバル $SL(2)$ 対称性に拡張。
• ねじれ場とモノドロミー制約を用いて4点関数を導出し、$L_0$ のジュリアンセルを示唆する対数的特異性を特定。
• 対数的演算子を、$SL(2)$ 対称性を保ちながら「小さな」代数を超える場の内容を拡張するシンプレクティックフェルミオンを用いて実現。
• 有限部分群 $SL(2)$ に関するオルビー・モデルを構成し、$c=1$ における $ADE$ 分類に類似した方法を用い、特性関数のモジュラー変換性を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ中心電荷 $c = -2$ における $(\xi,\eta)$ ゲージ系とコロンブ・ガス構成は、非可約な conformal ファミリーでは記述できないのか？
• RQ2 $c = -2$ CFT における対数的演算子はどのように生じるのか？ その代数的構造は何か？
• RQ3 $SL(2)$ 対称性は、$(\xi,\eta)$ システムの「小さな」代数において果たす役割は何か？
• RQ4 $c = -2$ における $SL(2)$-オルビー・モデルは、$c=1$ における $ADE$ 分類モデルとどのように比較できるか？
• RQ5 $c = -2$ における $SL(2)$-オルビー・モデルの摂動は、質量零のフローを引き起こすのか、それとも安定で孤立したモデルに留まるのか？

主な発見

• 中心電荷 $c = -2$ における $(\xi,\eta)$ ゲージ系には、一次元でもなく、従属でもない場が存在し、それらは非可約だが非分解可能なバーリンゾ代数表現を形成する。
• $\eta_0$ の核は、$U(1)$ 対称性をグローバル $SL(2)$ 対称性に高めた「小さな」代数を定義する。これは Kac-Moody 代数によって生成されない。
• ねじれ場の4点関数は対数的特異性を示し、それにより $L_0$ の2次元ジュリアンセルへの融合が示唆される。
• シンプレクティックフェルミオンを用いて対数的演算子を構成し、$SL(2)$ 対称性をグローバルに保ちつつ「小さな」代数を超える場の内容を拡張する。
• $SL(2)$ の有限部分群に関するオルビー・モデルはモジュラー不変であり、孤立している。$c=1$ における $ADE$ モデルとは異なり、質量零のフローによって接続されない。
• 特性関数 $d_{\mu,\lambda}(\tau)$ のモジュラー変換が明示的に計算され、非自明な $S$ および $T$ 変換が示され、$N$ が偶数か奇数かによって異なる式が得られる。