[論文レビュー] A zero-one law for uniform Diophantine approximation in Euclidean norm

Dmitry Kleinbock, Anurag Rao|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ユークリッドノルムにおける一様ディオファントス近似のゼロ-ワン法則を、格子空間上の対角的フローの収縮ターゲット問題を分析することによって確立する。数体幾何学および力学系の道具を用いて、与えられた近似関数 ψ に対して、特定のノルムに基づく不等式を満たす実数 α の集合が、関連する級数の収束または発散に応じて、Lebesgue測度が全測度またはゼロをとることを証明する。これは、従来の上限ノルムの場合の結果を一般化する。

ABSTRACT

We study a norm sensitive Diophantine approximation problem arising from the work of Davenport and Schmidt on the improvement of Dirichlet's theorem. Its supremum norm case was recently considered by the first-named author and Wadleigh, and here we extend the set-up by replacing the supremum norm with an arbitrary norm. This gives rise to a class of shrinking target problems for one-parameter diagonal flows on the space of lattices, with the targets being neighborhoods of the critical locus of a suitably scaled norm ball. We use methods from geometry of numbers and dynamics to generalize a result due to Andersen and Duke on measure zero and uncountability of the set of numbers for which Minkowski approximation theorem can be improved. The choice of the Euclidean norm on $\mathbb{R}^2$ corresponds to studying geodesics on a hyperbolic surface which visit a decreasing family of balls. An application of a dynamical Borel-Cantelli lemma of Maucourant produces a zero-one law for improvement of Dirichlet's theorem in Euclidean norm.

研究の動機と目的

• 上限ノルムから任意のノルム、特にユークリッドノルムへの一様ディオファントス近似のゼロ-ワン法の拡張。
• R²における格子空間上の1パラメータ対角的フローの収縮ターゲット問題の分析。
• ノルムに敏感な近似不等式を満たす実数の集合の測度論的性質の特定。
• アンドersenおよびデュークによるミンコフスキーの定理の改善および測度ゼロ集合に関する結果の一般化。
• ユークリッドノルム設定における近似問題に適した動的バーレル＝カンテリの補題枠組みの確立。

提案手法

• R²におけるユニモジュラー格子空間上の対角的フローの収縮ターゲット問題として、ディオファントス近似問題をモデル化する。
• ユニポテンツフロー u_α による格子への作用を用いて、近似条件をスケーリングされたノルム球への格子ベクトルの包含に翻訳する。
• モーカウランの動的バーレル＝カンテリの補題を適用し、近似不等式を満たす α の集合に対するゼロ-ワン法を導出する。
• 数体幾何学的手法を用いて、ノルム球の臨界集合を分析し、放物的部分代数群のリー代数への横断性を検証する。
• ノルム球の境界の局所パラメータ表示の微分解析を通じて、上三角行列のリー代数が生成する分布への臨界集合の横断性を証明する。
• マーラーの定理を用いて、臨界行列式が等しい一般の凸体 B に臨界的不可約体 B' を埋め込むことにより、可約な場合を不可約な場合に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 上限ノルムにおける既知の結果と類似する、ユークリッドノルムにおける一様ディオファントス近似のゼロ-ワン法が成立するか。
• RQ2 すべての十分大きな t に対して、不等式 (αq−p)²/ψ(t)² + (q/t)² < 2/√3 を満たす非自明な整数解が存在するような実数 α の集合の測度論的性質（全測度またはゼロLebesgue測度）は何か。
• RQ3 特にその臨界集合が関与するノルム球の幾何構造が、格子空間上の対角的フローの力学的挙動にどのように影響するか。
• RQ4 一般のノルム、特にユークリッドノルムに対して、動的バーレル＝カンテリの補題に必要な横断性条件を確立できるか。
• RQ5 凸体の臨界行列式が、その臨界格子集合の構造をどの程度決定するか。

主な発見

• 不等式 (αq−p)²/ψ(t)² + (q/t)² < 2/√3 がすべての十分大きな t に対して非自明な整数解を持つような α ∈ ℝ の集合に対して、級数 ∑ −log(1−kψ(k))(1/k − ψ(k)) の収束または発散に応じてゼロ-ワン法が成立する。
• 級数が発散する場合、近似条件を満たす α の集合は全Lebesgue測度をもち、収束する場合には測度ゼロをとる。
• ユークリッドノルム球の臨界集合は、上三角行列のリー代数が生成する分布に対して横断的である。これは、動的バーレル＝カンテリの補題を適用する上で重要な条件である。
• ノルム球の境界の局所パラメータ表示の微分解析を通じて、導関数行列の左下成分が非ゼロであることを示し、横断性条件を確立する。
• 可約な凸体に対しては、同じ臨界行列式を持つ不可約体の臨界集合に含まれるため、可約な場合を不可約な場合に還元可能である。
• 本結果は、アンドersenおよびデュークによる、ミンコフスキーの定理が改善可能である測度ゼロかつ非可算集合に関する先行研究を、ユークリッドノルムの文脈に一般化したものである。