[論文レビュー] Nondense orbits on homogeneous spaces and applications to geometry and number theory

Jinpeng An, Lifan Guan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、特に対象となる部分多様体を避ける軌道が非稠密である点の集合が、超平面絶対勝者（HAW）性質を有する場合に、そのハウスドルフ次元が最大となる条件を確立する。この性質により、アフィン写像および一パラメータ作用に関する既存の結果が統一され、このような例外的集合がHAWであることが示され、したがって厚さ（thick）であり、可算交差に対して安定である。応用としては、幾何学的および数論的分野における例外的測地線や非稠密性に関する応用が得られる。

ABSTRACT

Let $G$ be a Lie group, $Γ\subset G$ a discrete subgroup, $X=G/Γ$, and $f$ an affine map from $X$ to itself. We give conditions on a submanifold $Z$ of $X$ guaranteeing that the set of points $x\in X$ with $f$-trajectories avoiding $Z$ is hyperplane absolute winning (a property which implies full Hausdorff dimension and is stable under countable intersections). A similar result is proved for one-parameter actions on $X$. This has applications to constructing exceptional geodesics on locally symmetric spaces, and to non-density of the set of values of certain functions at integer points.

研究の動機と目的

• 同次空間の部分多様体に対して、その点の非稠密な $f$-軌道を持つ集合が超平面絶対勝者（HAW）であるための十分な幾何的条件を確立すること。
• アフィン写像および一パラメータ作用に関する非稠密軌道に関する既存の結果を統合・一般化すること。
• 特定の部分多様体を避ける点の例外的集合が、HAW性質のおかげで厚さを示すだけでなく、可算交差に対しても安定であることを示すこと。
• HAWフレームワークを用いて、局所的に対称な空間上に例外的測地線を構成し、整数点における関数の値の非稠密性を調べること。

提案手法

• 同次空間 $X = G/\Gamma$（$G$ はリー群、$\Gamma$ は離散部分群）の部分多様体に対して、$G_f$-横断性および $(F, G_{F^+})$-横断性の概念を導入する。
• 超平面絶対勝者（HAW）ゲームを用いて、横断的である部分多様体を避ける軌道を持つ点の集合がHAWであることを示し、これによりハウスドルフ次元が最大であることを保証する。
• 射影空間上のHAWゲームを元の空間に還元するためのリフト戦略を用い、補助プレイヤー（アリスの姉とボブの兄弟）を導入したネストドゲームフレームワークにより、勝利戦略を構築する。
• 射影 $P_W$、球、超平面近傍を用いた幾何的構成により、反復の各段階で標的集合が勝利領域内に保たれることを保証する。
• HAW性質が可算交差に関して不変であることに着目し、例外的集合の強力な安定性を強化する。
• $\Gamma$ を保存する $G$ の自己同型によって誘導されるアフィン写像 $f: X \to X$ 及びその線形化 $d\sigma_f$ を Lie 環 $\mathfrak{g}$ 上で用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同次空間 $X = G/\Gamma$ の部分多様体 $Z \subset X$ に対して、非稠密な $f$-軌道を持つ点の集合がHAWであるための幾何的条件は何か？
• RQ2 HAW性質を用いて、アフィン写像および一パラメータ作用の両方における非稠密軌道に関する結果を統合的に扱う方法は何か？
• RQ3 HAW性質が局所的に対称な空間上に例外的測地線が存在することに与える影響は何か？
• RQ4 関数の整数点における値の非稠密性は、HAWフレームワークを用いて確立可能か？
• RQ5 $G_f$ および $F$-方向に関する横断性条件が、非稠密軌道の豊富さをどのように保証するか？

主な発見

• コンパクトな $G_f$-横断的 $C^1$ 部分多様体 $Z \subset X$ を避ける $f$-軌道を持つ点の集合 $E(f, Z)$ は超平面絶対勝者（HAW）であるため、ハウスドルフ次元が最大である。
• 一パラメータ部分群 $F$ に対して、$Z$ がコンパクトな $(F, G_{F^+})$-横断的 $C^1$ 部分多様体である限り、集合 $E(F^+, Z)$ はHAWである。これにより、最大次元および安定性が保証される。
• HAW性質により、このような例外的集合の可算交差も依然として厚さを持つことが保証され、強力な位相的・測度論的耐性を持つ。
• 補助プレイヤーと幾何的リフトを用いた高次元空間におけるネストドゲームのシミュレーションにより、射影空間上でのHAWゲームに対する勝利戦略を構築した。
• 結果として、定理1.2（トーラル自己写像に関するもの）および定理1.1（同次空間上の力学系に関するもの）がHAWフレームワークの下で統合され、一般化された。
• 応用として、局所的に対称な空間上に例外的測地線が存在すること、および関数の整数点における値の非稠密性が、例外的集合のHAW構造から導かれることが示された。