[論文レビュー] A2-Planar Algebras II: Planar Modules

David Evans, Mathew Pugh|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$A_2$-平面上代数上の平面的モジュールを導入し、ジョーンズの平面上代数フレームワークを量子$SU(3)$の表現理論に一般化する。$SU(3)$の$Δ$-ADEグラフと細胞系を用いて$A_2$-グラフ平面上代数を構成し、これらの代数の部分的モジュラー分解を、特にヒルベルト空間上の主要な作用素の固有値解析を通じて、非可約$A_2$-$PTL$-モジュールに達成する。

ABSTRACT

Generalizing Jones's notion of a planar algebra, we have previously introduced an A_2-planar algebra capturing the structure contained in the double complex pertaining to the subfactor for a finite SU(3) ADE graph with a flat cell system. We now introduce the notion of modules over an A_2-planar algebra, and describe certain irreducible Hilbert A_2-TL-modules. We construct an A_2-graph planar algebra associated to each pair (G,W) given by an SU(3) ADE graph G and a cell system W on G. A partial modular decomposition of these A_2-graph planar algebras is achieved.

研究の動機と目的

• ジョーンズの平面上代数フレームワークを$A_2$-平面上代数に一般化し、$SU(3)$の部分因子およびそれらに関連するモジュラー不変量の構造を記述すること。
• 平面上代数上での平面的モジュールを定義し、特に最低重量がゼロである非可約ヒルベルト空間モジュールに焦点を当てる。
• $\mathcal{G}$を$SU(3)$の$Δ$-ADEグラフ、$W$を$\mathcal{G}$上の細胞系とする対$(\mathcal{G}, W)$に対して、$A_2$-グラフ平面上代数$P^{\mathcal{G}}$を構成すること。
• 作用素$\rho_{(2,2)}$、$U_1$、$\widetilde{U}_1$のスペクトル解析を用いて、$P^{\mathcal{G}}$を非可約$A_2$-$PTL$-モジュールへの部分的モジュラー分解に達すること。
• 直交補空間と固有値の重複度を解析することにより、特定のグラフ$\mathcal{E}^{(8)}$および$\mathcal{D}^{(6)}$に対する$P^{\mathcal{G}}$の構造を同定すること。

提案手法

• ジョーンズの平面上代数フレームワークを$A_2$-平面上代数に一般化し、$A_2$-テンパリー・リーマン代数を通じて、量子$SU(3)$の表現理論を記述する。
• 平面上代数上での平面的モジュールを定義し、最低重量の概念を導入し、最低重量がゼロである非可約ヒルベルト$A_2$-$PTL$-モジュールを構成する。
• $SU(3)$の$Δ$-ADEグラフ$\mathcal{G}$と、$\mathcal{G}$に適合する細胞系$W$から、三価頂点図を$Ocneanu$の細胞で重み付けすることにより、$A_2$-グラフ平面上代数$P^{\mathcal{G}}$を構成する。
• $P^{\mathcal{G}}$の各次数成分、特に$P^{\mathcal{G}}_{+^{2}-^{2}}$上で作用する主要な作用素$\rho_{(2,2)}$、$U_1$、$\widetilde{U}_1$のスペクトル解析を実行する。
• 固有値の重複度と対称性（例：複素共役不変性）を用いて、$P^{\mathcal{G}}$内に含まれる非可約モジュール成分を同定する。特に$W^\perp \cap P^{\mathcal{G}}_{+^{2}-^{2}}$において分析する。
• ヴェルリンデ代数とnimrep構造を用いて、分解が$SU(3)$の共形場理論のモジュラー不変量および融合規則に関連することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして$A_2$-平面上代数上で平面的モジュールを定義・分類できるか。特に最低重量がゼロであるモジュールに注目する。
• RQ2 $SU(3)$の$Δ$-ADEグラフ$\mathcal{G}$と細胞系$W$に対応する$A_2$-グラフ平面上代数$P^{\mathcal{G}}$の構造は何か。
• RQ3 $P^{\mathcal{G}}$の分解に現れる非可約$A_2$-$PTL$-モジュールは何か。スペクトルデータを用いてそれらをどのように同定できるか。
• RQ4 $P^{\mathcal{G}}$のモジュラー分解は、元の$SU(3)$のモジュラー不変量およびグラフの対称性をどのように反映するか。
• RQ5 $\rho_{(2,2)}$、$U_1$、$\widetilde{U}_1$の固有値の重複度は、$P^{\mathcal{G}}$の可能な非可約成分にどのような制約を課えるか。

主な発見

• $P^{\mathcal{E}^{(8)}}$には、$H^{\beta_{(0,0)}}$、$H^{\beta_{(3,0)}}$、$H^{\beta_{(0,3)}}$、$H^{\beta_{(2,2)}}$に加えて、$\omega = \pm i$を満たす2つのランク$(2,2)$モジュール$H^{(2,2),\gamma_1,\varepsilon_2 i}$、$H^{(2,2),\gamma_2,\varepsilon_3 i}$、および$\varepsilon_1 \in \{\pm 1\}$を満たす$H^{(3,0),\varepsilon_1}$、$H^{(0,3),\varepsilon_1}$が含まれる。
• $\mathcal{D}^{(6)}$に対しては、$P^{\mathcal{D}^{(6)}}$の分解に$H^{\beta_{(0,0)}}$、$H^{0,\overline{0}}$、および$\omega^2 = 1$を満たす2つのランク$(2,2)$モジュール$H^{(2,2),\gamma_1,\varepsilon_1}$、$H^{(2,2),\gamma_2,\varepsilon_2}$が含まれる。これは$\omega = \pm 1$を意味する。
• $W^\perp \cap P^{\mathcal{E}^{(8)}}_{+^{2}-^{2}}$の次元は6であり、$\rho_{(2,2)}$の固有値$\omega^2 = -1$が$H^{(2,2),\gamma,\omega}_{+^{2}-^{2}}$上で成り立つことから、$\omega = \pm i$が得られ、これにより可能なモジュール型が制限される。
• $W^\perp \cap P^{\mathcal{D}^{(6)}}_{+^{2}-^{2}}$の次元は2であり、$\rho_{(2,2)}$の固有値1が重複度2で現れることから、$H^{(3,0),\gamma}$モジュールの単一の出現ではなく、2つのランク$(2,2)$モジュールの存在が強制される。
• $U_1$および$\widetilde{U}_1$の作用において、$H^{(3,0),\pm 1}_{+^{2}-^{2}}$では固有値$[4]\alpha\delta^{-2}$と0（重複度2）が得られ、$H^{(0,3),\pm 1}_{+^{2}-^{2}}$でも同様の固有値が得られ、これは異なるスペクトル的挙動を示している。
• 共役対称性により、$P^{\mathcal{G}}$の分解は制約を受ける：$\gamma_1$が複素数であれば$\gamma_2 = \overline{\gamma}_1$であり、あるいは両方とも実数である。これにより$P^{\mathcal{G}}$が複素共役に関して閉じていることが保証される。