[論文レビュー] Abelian complexity function of the Tribonacci word

Ondřej Turek|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2013

semigroups and automata theory参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、トリボナッチ数表現を用いてトリボナッチ語のアーベル複雑度関数を計算する有限オートマトンを提示する。これにより、O(log n) 時間で効率的な評価が可能となる。68状態からなるこのオートマトンは、{4,5,6,7} の各値に対してアーベル複雑度が等しくなるすべての n を特徴付けるという未解決問題を解決し、4-ボナッチ語への手法の拡張により、新たなアーベル複雑度の性質を明らかにする。

ABSTRACT

According to a result of Richomme, Saari and Zamboni, the abelian complexity of the Tribonacci word satisfies $ρ^{\mathrm{ab}}(n)\in\{3,4,5,6,7\}$ for each $n\in\mathbb{N}$. In this paper we derive an automaton that evaluates the function $ρ^{\mathrm{ab}}(n)$ explicitly. The automaton takes the Tribonacci representation of $n$ as its input; therefore, $(ρ^{\mathrm{ab}}(n))_{n\in\mathbb{N}}$ is an automatic sequence in a generalized sense. Since our evaluation of $ρ^{\mathrm{ab}}(n)$ uses $\mathcal{O}(\log n)$ operations, it is fast even for large values of $n$. Our result also leads to a solution of an open problem proposed by Richomme et al. concerning the characterization of those $n$ for which $ρ^{\mathrm{ab}}(n)=c$ with $c$ belonging to $\{4,5,6,7\}$. In addition, we apply the same approach on the $4$-bonacci word. In this way we find a description of the abelian complexity of the $4$-bonacci word, too.

研究の動機と目的

• トリボナッチ語のアーベル複雑度が c ∈ {4,5,6,7} に等しくなるすべての n を特徴付けるという、リコム、サアリ、ザンボーニが提起した未解決問題を解くこと。
• トリボナッチ語のアーベル複雑度関数 ρ^ab(n) を計算的に効率的に評価する方法を開発すること。
• この手法を他の m-ボナッチ語、特に 4-ボナッチ語に拡張し、それらのアーベル複雑度の性質を分析すること。
• アーベル共分解と有限オートマトンに基づく体系的なアプローチを、より大きなアルファベット上の再帰的語のアーベル複雑度を研究するためのものとして提供すること。

提案手法

• アーベル共分解を用いて、アーベル複雑度の異なる値に対応する有限集合 Z₁,…,Z_M を特定する。
• これらの集合 Z_q に対応する状態を持つ有限オートマトンを構築し、トリボナッチ置換規則から導かれる写像 D_j によって遷移を定義する。
• オートマトンは n のトリボナッチ表現を入力とし、ρ^ab(n) を O(log n) 回の操作で計算可能である。
• 分解写像の再帰的適用中に許容可能な正規 U-表現を追跡することで、有効性を保証する。
• 状態の最小化により、オートマトンのサイズを 278 から 68 状態に最適化し、実用性を向上させる。
• この手法は非単純パリ語に一般化され、4-ボナッチ語に適用され、そのアーベル複雑度が有界かつ計算可能であることが判明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの n に対してトリボナッチ語のアーベル複雑度が 4, 5, 6, 7 に等しくなるか？
• RQ2 大きな n に対して、トリボナッチ語のアーベル複雑度関数を効率的に計算できるか？
• RQ3 4-ボナッチ語のアーベル複雑度構造は何か？ そして、トリボナッチ語とはどのように異なるか？
• RQ4 アーベル共分解法は、m > 3 を満たす他の m-ボナッチ語に一般化可能か？
• RQ5 4-ボナッチ語の最適なバランスバウンドは何か？ また、この手法によってそのバウンドが得られるか？

主な発見

• すべての n ∈ ℕ に対して、トリボナッチ語のアーベル複雑度は ρ^ab(n) ∈ {3,4,5,6,7} を満たすことが確認され、既知の結果が新たな手法により再確認された。
• 68状態の有限オートマトンが、n のトリボナッチ表現に基づいて ρ^ab(n) を計算可能であり、O(log n) の評価時間で動作する。
• オートマトンは、各 c ∈ {4,5,6,7} に対して ρ^ab(n) = c を満たすすべての n を完全に特徴付けることができ、リコムらの未解決問題を解決する。
• この手法により、4-ボナッチ語のアーベル複雑度が効率的に計算可能であり、有界かつ自動的であることが判明した。
• 4-ボナッチ語は 3-バランスであり、この手法により最適なバランスバウンドが得られた。これは、m-ボナッチ語への一般化の可能性を示唆する。
• このアプローチは他のパリ語へも拡張可能であり、パrametricな語の族に対しても適応可能であるが、複雑性が増加する。