[論文レビュー] Abelian gerbes, generalized geometries and exotic R^4

Torsten Aßelmeyer-Maluga, Jerzy Król|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、DeMichelis-Freedman型の固定された径方向族に属する小さな非標準的 $\mathbb{R}^{4}$ と、$S^3$ 上の codimension-one フォロリエーションのコボルディズム類の間で、厳密で相対的な対応関係を確立する。非標準的 $\mathbb{R}^{4}$ の同相型の類は、径方向族の半径の二乗によって特徴づけられ、整数の Godbillon-Vey 不変量が平坦な $PSL(2,\mathbb{R})$-バンドルと関連し、$S^3$ 上のアーベルのゲルベとねじれた一般化幾何学と関係づけられる。この関係は、局在化原理を通じて電気的電荷の量子化に影響を及ぼす。

ABSTRACT

In the paper we prove the existence of the strict but relative relation between small exotic $\mathbb{R}^{4}$ for a fixed radial family of DeMichelis-Freedman type, and cobordism classes of codimension one foliations of $S^{3}$ distinguished by the Godbillon-Vey invariant, $GV\in H^{3}(S^{3},\mathbb{R})$ (represented by a 3-form). This invariant can be integrated to get the Godbillon-Vey number. For a fixed radial family, we will show that the isotopy classes (invariance w.r.t. small diffeomorphisms or coordinate transformations) of all members in this family are distinguished by the Godbillon-Vey number of the foliation which is equal to the square of the radius of the radial family. The special case of integer Godbillon-Vey invariants $GV\in H^{3}(S^{3},\mathbb{Z})$ is also discussed and is connected to flat $PSL(2,\mathbb{R})-$bundles. Next we relate these distinguished small exotic smooth $\mathbb{R}^{4}$'s to twisted generalized geometries of Hitchin on $TS^{3}\oplus T^{\star}S^{3}$ and abelian gerbes on $S^{3}$. In particular the change of the smoothness on $\mathbb{R}^{4}$ corresponds to the twisting of the generalized geometry by the abelian gerbe. We formulate the localization principle for exotic 4-regions in spacetime and show that the existence of these domains causes the quantization of electric charge, the effect usually ascribed to the existence of magnetic monopoles.

研究の動機と目的

• 固定された径方向族に属する小さな非標準的 $\mathbb{R}^{4}$ と $S^3$ 上のフォロリエーション不変量の間で、厳密で相対的な対応関係を確立すること。
• 径方向族に属する非標準的 $\mathbb{R}^{4}$ の同相型の類が、径方向族の半径の二乗に等しい Godbillon-Vey 数によって特徴づけられることを示すこと。
• 整数の Godbillon-Vey 不変量が平坦な $PSL(2,\mathbb{R})$-バンドルと関連することを示すこと。
• 非標準的滑らか構造が $\mathbb{R}^{4}$ 上に存在する場合、$TS^3 \oplus T^*S^3$ 上のねじれた一般化幾何学と $S^3$ 上のアーベルのゲルベと関係づけられること。
• 時空における非標準的 4 領域の局在化原理を定式化し、その結果として電荷の量子化を導出すること。

提案手法

• $S^3$ 上の codimension-one フォロリエーションを分類するために、$GV \in H^3(S^3, \mathbb{R})$ として表される Godbillon-Vey 不変量（閉 3-形式）を用いる。
• そのようなフォロリエーションの Godbillon-Vey 数が、固定された径方向族に属する DeMichelis-Freedman 型の非標準的 $\mathbb{R}^{4}$ の半径の二乗に一致することを関係づける。
• $S^3$ 上のアーベルのゲルベ理論を用いて、$TS^3 \oplus T^*S^3$ 上の一般化幾何学のねじれをモデル化する。
• Hitchin のねじれた一般化幾何学の枠組みを適用し、$\mathbb{R}^{4}$ 上の滑らか構造の変化がゲルベのねじれに対応することを記述する。
• 時空における非標準的 4 領域の局在化原理を用いて物理的結果（特に電荷の量子化）を導出する。
• 整数の Godbillon-Vey 不変量のケースを解析し、特性類を介して平坦な $PSL(2,\mathbb{R})$-バンドルと関連づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 径方向族に属する小さな非標準的 $\mathbb{R}^{4}$ の同相型の類は、$S^3$ 上の codimension-one フォロリエーションの Godbillon-Vey 不変量とどのように関係しているか？
• RQ2 非標準的 $\mathbb{R}^{4}$ の径方向族の半径と、関連するフォロリエーションの Godbillon-Vey 数の正確な関係は何か？
• RQ3 $S^3$ 上のアーベルのゲルベは、$\mathbb{R}^{4}$ 上の非標準的滑らか構造に対応する一般化幾何学のねじれをどのように符号化するか？
• RQ4 時空における非標準的 4 領域の局在化から生じる物理的結果（特に電荷の量子化）は何か？
• RQ5 整数の Godbillon-Vey 不変量は、$S^3$ 上の平坦な $PSL(2,\mathbb{R})$-バンドルとどのように関係しているか？

主な発見

• 固定された径方向族に属する小さな非標準的 $\mathbb{R}^{4}$ の同相型の類は、関連する $S^3$ 上の codimension-one フォロリエーションの Godbillon-Vey 数によって一意に特徴づけられ、その値は径方向族の半径の二乗に等しい。
• Goddbillon-Vey 不変量は $S^3$ 上の閉 3-形式として実現され、その積分（Goddbillon-Vey 数）がフォロリエーションを分類し、それによって非標準的 $\mathbb{R}^{4}$ に対応する。
• 整数の Godbillon-Vey 不変量は、$S^3$ 上の平坦な $PSL(2,\mathbb{R})$-バンドルに対応し、位相的不変量と幾何的構造を結びつける。
• 非標準的滑らか構造は、$TS^3 \oplus T^*S^3$ 上の一般化複素構造のねじれとして、アーベルのゲルベを介して幾何的に実現される。
• 時空における非標準的 4 領域の局在化原理は、電気的電荷の量子化を導く。この現象は通常、磁気モノポールに起因するとされる。
• 非標準的 $\mathbb{R}^{4}$ とフォロリエーションの間の対応は厳密で相対的であり、固定された径方向族内で成立し、Goddbillon-Vey 数が径方向パラメータに依存する。