[論文レビュー] Gerbes, SU(2) WZW models and exotic smooth R^4

Torsten Aßelmeyer-Maluga, Jerzy Król|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2009

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、DeMichelis-Freedman型の小規模な非標準的$\mathbb{R}^{4}$と$S^{3}$のcodimension-one foliationの間で、厳密かつ相対的な対応関係を確立する。ここで、ゴッドビロン＝ヴェー不変量が、径方向家族の半径の二乗に等しくなることで、非標準的$\mathbb{R}^{4}$の同位型類が区別される。非標準的微分構造は、$TS^{3} \oplus T^{\star}S^{3}$上のアーベル層とねじれ generalized geometry と関連づけられ、非標準的4次元領域が磁気モノポールを仮定せずに電荷の量子化を引き起こすことが示された。

ABSTRACT

In the paper we prove the existence of the strict but relative relation between small exotic $\mathbb{R}^{4}$ for a fixed radial family of DeMichelis-Freedman type, and cobordism classes of codimension one foliations of $S^{3}$ distinguished by the Godbillon-Vey invariant, $GV\in H^{3}(S^{3},\mathbb{R})$ (represented by a 3-form). This invariant can be integrated to get the Godbillon-Vey number. For a fixed radial family, we will show that the isotopy classes (invariance w.r.t. small diffeomorphisms or coordinate transformations) of all members in this family are distinguished by the Godbillon-Vey number of the foliation which is equal to the square of the radius of the radial family. The special case of integer Godbillon-Vey invariants $GV\in H^{3}(S^{3},\mathbb{Z})$ is also discussed and is connected to flat $PSL(2,\mathbb{R})-$bundles. Next we relate these distinguished small exotic smooth $\mathbb{R}^{4}$'s to twisted generalized geometries of Hitchin on $TS^{3}\oplus T^{\star}S^{3}$ and abelian gerbes on $S^{3}$. In particular the change of the smoothness on $\mathbb{R}^{4}$ corresponds to the twisting of the generalized geometry by the abelian gerbe. We formulate the localization principle for exotic 4-regions in spacetime and show that the existence of these domains causes the quantization of electric charge, the effect usually ascribed to the existence of magnetic monopoles.

研究の動機と目的

• 小規模な非標準的$\mathbb{R}^{4}$と$S^{3}$のcodimension-one foliationの間で、厳密かつ相対的な対応関係を確立すること。
• 固定された径方向家族内の非標準的$\mathbb{R}^{4}$の同位型類が、ゴッドビロン＝ヴェー不変量によって区別され、その値が半径の二乗に等しいことを示すこと。
• 非標準的微分構造を、$TS^{3} \oplus T^{\star}S^{3}$上のねじれ generalized geometry および$S^{3}$上のアーベル層に関連づけること。
• 時空内の非標準的4次元領域の局在化原理を定式化し、その物理的意味を検討すること。
• 非標準的4次元領域が、従来磁気モノポールに起因すると考えられていた電荷の量子化を引き起こすことを示すこと。

提案手法

• $S^{3}$のfoliationを特徴づける不変量として、$GV \in H^{3}(S^{3},\mathbb{R})$のゴッドビロン＝ヴェー不変量を用い、3形式として表現する。
• ゴッドビロン＝ヴェー数の値が、小規模な非標準的$\mathbb{R}^{4}$の径方向家族内の半径の二乗に等しいことを関係づける。
• $TS^{3} \oplus T^{\star}S^{3}$上のねじれ generalized geometry を通じて、非標準的$\mathbb{R}^{4}$と$S^{3}$上のアーベル層の間の対応関係を構築する。
• 非標準的4次元領域の局在化原理を時空に適用し、ゲージ理論に与える影響を示す。
• アーベル層による generalized geometry のねじれを用いて、$\mathbb{R}^{4}$上の微分構造の変化をモデル化する。
• 整数値のゴッドビロン＝ヴェー不変量のケースを分析し、平坦な$PSL(2,\mathbb{R})$-バンドルに接続する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 径方向家族内の小規模な非標準的$\mathbb{R}^{4}$の同位型類は、$S^{3}$の幾何的不変量によってどのように区別されるか？
• RQ2 $S^{3}$上のfoliationのゴッドビロン＝ヴェー不変量と非標準的$\mathbb{R}^{4}$の径方向パラメータの間の明確な関係は何か？
• RQ3 $S^{3}$上のアーベル層は、$\mathbb{R}^{4}$上の非標準的微分構造に対応する generalized geometry のねじれをどのように符号化するか？
• RQ4 時空内の非標準的4次元領域を局在化することによって生じる物理的結果は何か？
• RQ5 非標準的$\mathbb{R}^{4}$の存在が、磁気モノポールを仮定せずに電荷の量子化を引き起こす仕組みは何か？

主な発見

• 固定された径方向家族内の小規模な非標準的$\mathbb{R}^{4}$の同位型類は、関連する$S^{3}$のfoliationのゴッドビロン＝ヴェー数によって一意に決定され、その値は径方向パラメータの二乗に等しい。
• 整数値のゴッドビロン＝ヴェー不変量は、平坦な$PSL(2,\mathbb{R})$-バンドルに対応し、位相的不変量と幾何的構造を結びつける。
• 非標準的微分構造は、$TS^{3} \oplus T^{\star}S^{3}$上の generalized geometry のアーベル層によるねじれとして実現される。
• 非標準的$\mathbb{R}^{4}$上の微分構造の変化は、アーベル層による generalized geometry のねじれによって幾何的にモデル化される。
• 時空内の非標準的4次元領域の局在化は、電荷の量子化を引き起こし、これは従来磁気モノポールに起因すると考えられていた現象である。
• 本稿は、磁気モノポールを仮定しないが、非標準的微分構造とfoliation不変量に基づく、電荷の量子化の幾何的メカニズムを提供する。