[論文レビュー] Abelian right perpendicular subcategories in module categories

Leonid Positselski|arXiv (Cornell University)|May 14, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、アーベル圏が、射影的生成子を備えた局所的プレゼンタブルであることと同値である、加法的代数的理論の有界無限アリティのモデルの圏であることと同値である、モジュール圏への正確かつ完全忠実な埋め込みとして右直交部分圏に埋め込まれるための必要十分条件を確立している。主な貢献は、集合上の可アクセスモナドを用いたこのような圏の特徴付けであり、特に位相環上のコントラモジュールおよび完全忠実な忘却関手の応用を含む。

ABSTRACT

We show that an abelian category can be exactly, fully faithfully embedded into a module category as the right perpendicular subcategory to a set of modules or module morphisms if and only if it is a locally presentable abelian category with a projective generator, or in other words, the category of models of an additive algebraic theory of possibly infinite bounded arity. This includes the categories of contramodules over topological rings and other examples. Various versions of the definition of the right perpendicular subcategory are considered, all leading to the same class of abelian categories. We also discuss sufficient conditions under which the natural forgetful functors from the categories of contramodules to the related categories of modules are fully faithful.

研究の動機と目的

• モジュール圏への正確かつ完全忠実な埋め込みとして右直交部分圏に埋め込まれるアーベル圏を特徴付けること。
• このような埋め込みが存在するための条件、特に射影的生成子と局所的プレゼンタブル性との関係を明確にすること。
• 右直交部分圏のさまざまな定義を統一し、それらが同値なアーベル圏のクラスをもたらすことを示すこと。
• 特に位相環の文脈において、コントラモジュール圏からモジュール圏への忘却関手が完全忠実である条件を調査すること。
• 無限アリティの加法的理論のモデルとしてのコントラモジュールを理解するための圏論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 集合の圏上の可アクセスモナドを用いて、射影的生成子を備えた完全加法的圏を記述すること。
• 有界アリティの加法的で可アクセスなモナドのモジュール圏としてアーベル圏を特徴付けること。
• 特定の文脈において、核と余核について閉じた部分圏を同定するために直交部分圏の理論を応用すること。
• 多項式環およびローレンツ多項式環を用いた例の構成により、コントラヘアレントコシーブをモデル化し、非アーベルな部分圏を示すこと。
• Ext群やHom群の消える条件といったホモロジー的条件を用いて、直交部分圏を定義・検証すること。
• 直交性条件によって定義される全部分圏が、アーベルであることと、局所的プレゼンタブルで射影的生成子を備えることとは同値であることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、アーベル圏が、正確かつ完全忠実な埋め込みによってモジュール圏の右直交部分圏と同倹的であるか？
• RQ2 コントラモジュールからモジュールへの忘却関手が完全忠実であるための条件は何か？
• RQ3 アーベル圏の文脈において、右直交部分圏のさまざまな定義はどのように関係しているか？
• RQ4 モジュール圏の全部分圏が核と余核について閉じている場合、どのような条件下でアーベル的であるか？
• RQ5 有界無限アリティの加法的代数的理論のモデルとして現れるアーベル圏は、どのように特徴づけられるか？

主な発見

• アーベル圏がモジュール圏の右直交部分圏と同値であることと、局所的プレゼンタブルで射影的生成子を備えていることは同値である。
• このような圏は、正確には有界無限アリティの加法的代数的理論のモデルの圏、あるいは集合上の可アクセスで加法的なモナドのモジュール圏に他ならない。
• 位相環上のコントラモジュール圏から関連するモジュール圏への忘却関手は、例えば環が完備かつ分離的で、0の近傍の基が右イデアルであるような条件下で完全忠実である。
• 核と余核について閉じているがアーベル的でない全部分圏の例が存在することから、アーベル性は自発的ではないことが示された。
• 射影直線上のコントラヘアレントコシーブの圏は、行列環上のモジュール圏における右直交部分圏としてモデル化可能である。
• 特定の直交部分圏において、余核を持たない射が存在することは、そのような部分圏が周囲の圏において閉じていても、内部的には余核について閉じていないことがあることを示している。