[論文レビュー] Homological algebra of semimodules and semicontramodules: Semi-infinite homological algebra of associative algebraic structures

Leonid Positselski|Aug 27, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 41

ひとこと要約

この論文は、結合的代数的構造上の半モジュールおよび半代数的対応モジュールのためのホモロジー代数フレームワークを構築し、半無限ホモロジーおよびコホモロジーを一般化する導来函手 SemiTor および SemiExt を導入する。主な貢献は、基礎となるコリングおよび半代数に対して適切な平坦性および射影的条件が満たされる場合、半モジュールと半代数的対応モジュールの異方的導来圏の間の同値性を確立することにある。

ABSTRACT

We develop the basic constructions of homological algebra in the (appropriately defined) unbounded derived categories of modules over algebras over coalgebras over noncommutative rings (which we call semialgebras over corings). We define double-sided derived functors SemiTor and SemiExt of the functors of semitensor product and semihomomorphisms, and construct an equivalence between the exotic derived categories of semimodules and semicontramodules. Certain (co)flatness and/or (co)projectivity conditions have to be imposed on the coring and semialgebra to make the module categories abelian (and the cotensor product associative). Besides, for a number of technical reasons we mostly have to assume that the basic ring has a finite homological dimension (no such assumptions about the coring and semialgebra are made). In the final sections we construct model category structures on the categories of complexes of semi(contra)modules, and develop relative nonhomogeneous Koszul duality theory for filtered semialgebras and quasi-differential corings. Our motivating examples come from the semi-infinite cohomology theory. Comparison with the semi-infinite (co)homology of Tate Lie algebras and graded associative algebras is established in appendices, and the semi-infinite homology of a locally compact topological group relative to an open profinite subgroup is defined. An application to the correspondence between complexes of representations of an infinite-dimensional Lie algebra on the complementary central charge levels ($c$ and $26-c$ for the Virasoro) is worked out.

研究の動機と目的

• 結合的代数的構造上の半モジュールおよび半代数的対応モジュールのためのホモロジー代数フレームワークを形式化すること。
• 半無限ホモロジーおよびコホモロジーの一般化として、二重導来函手 SemiTor および SemiExt を定義し、それらを研究すること。
• 適切な（余）平坦性および（余）射影的条件のもとで、半モジュールおよび半代数的対応モジュールの異方的導来圏の間の同値性を確立すること。
• フィルトレーション付き半代数および準微分的コリングのための相対的非同調 Koszul 対称性理論を構築すること。
• Tate リー代数、次数付き結合的代数、および開プロファイニット部分群をもつ局所コンパクト群の文脈における半無限コホモロジーの統一的代数的基盤を提供すること。

提案手法

• コールドゲンの双コモジュールのテンソル圏における環的対象として、コリング上の半代数を定義する。
• 右および左半モジュール間の半テンソル積および半ホモモーフィズム函手を導入する。
• 半テンソルおよび半ホモ函手の全左および全右導来函手として、導来函手 SemiTor および SemiExt を構成する。
• コリングおよび半代数に対して平坦性および射影的仮定をおくことで、コモジュール-代数的対応モジュール対応を導来同値により確立する。
• 半モジュールおよび半代数的対応モジュールの複体の圏にモデル圏構造を構築し、ホモトピー論的代数を支援する。
• このフレームワークを相対的非同調 Koszul 対称性に適用し、特にフィルトレーション付き半代数および準微分的コリングに適用し、Tate リー代数および群コホモロジーへの応用を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半無限ホモロジーおよびコホモロジーは、統一的なホモロジー代数フレームワークからどのように体系的に導出可能か？
• RQ2 コリングおよび半代数にどのような条件が満たされると、半モジュールおよび半代数的対応モジュールの圏がアーベル的になり、半テンソル積が結合的になるか？
• RQ3 半モジュールおよび半代数的対応モジュールの導来圏の間の正確な関係は何か？ そして、この同値性はどのような条件下で確立されるか？
• RQ4 開プロファイニット部分群に関する局所コンパクト位相群の半無限コホモロジーは、どのように代数的に定義され、計算可能か？
• RQ5 提案された非同調 Koszul 対称性理論は、フィルトレーション付き代数および微分的コリングの古典的双対性をどのように拡張するか？

主な発見

• 二重導来函手 SemiTor は、半無限ホモロジーの結合的代数的アナログとして提案され、Arkhipov および Sevostyanov の構成を一般化する。
• 導来函手 SemiExt はコホモロジー的対応を提供し、結合的設定における半無限コホモロジーを実現する。
• 半代数がコリング上のコモジュールとしてインジェクティブである場合、半モジュールおよび半代数的対応モジュールの異方的導来圏の間の同値性が確立される。
• コモジュール-代数的対応モジュール対応が、コリングおよび半代数に対して（余）平坦性および（余）射影的条件が満たされる場合、圏の同値として証明される。
• 半モジュールおよび半代数的対応モジュールの複体の圏にモデル圏構造が構成され、ホモトピー論的手法が可能になる。
• このフレームワークにより、開プロファイニット部分群に関する局所コンパクト位相群のための半無限ホモロジーの定義が得られ、既存の文献結果と比較される。