[論文レビュー] Abelian varieties of prescribed order over finite fields

Raymond van Bommel, Edgar Costa+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2021

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の素数冪 $q$ に対して、十分に大きな次元 $n$ において、幾何的に単純で、通常型であり、主偏極を備えた $n$ 次元のアーベル多様体 $A$ over $F_q$ に対して、$F_q$-有理点の個数として表せる正の整数は、すべての十分に大きな正の整数であることを証明している。この結果は、効果的な境界を用いてハッセ＝ヴェイユ区間内に整数を稠密に実現することを確立し、ホウとケドレイアによる $F_2$ に関する先行研究をすべての $q$ に拡張している。主な貢献は、漸近的に最適な実現可能順序の区間を確立したことであり、ディピッポとハウ（1998年）の古典的境界を改善している。

ABSTRACT

Given a prime power $q$ and $n \gg 1$, we prove that every integer in a large subinterval of the Hasse--Weil interval $[(\sqrt{q}-1)^{2n},(\sqrt{q}+1)^{2n}]$ is $#A(\mathbb{F}_q)$ for some geometrically simple ordinary principally polarized abelian variety $A$ of dimension $n$ over $\mathbb{F}_q$. As a consequence, we generalize a result of Howe and Kedlaya for $\mathbb{F}_2$ to show that for each prime power $q$, every sufficiently large positive integer is realizable, i.e., $#A(\mathbb{F}_q)$ for some abelian variety $A$ over $\mathbb{F}_q$. Our result also improves upon the best known constructions of sequences of simple abelian varieties with point counts towards the extremes of the Hasse--Weil interval. A separate argument determines, for fixed $n$, the largest subinterval of the Hasse--Weil interval consisting of realizable integers, asymptotically as $q o \infty$; this gives an asymptotically optimal improvement of a 1998 theorem of DiPippo and Howe. Our methods are effective: We prove that if $q \le 5$, then every positive integer is realizable, and for arbitrary $q$, every positive integer $\ge q^{3 \sqrt{q} \log q}$ is realizable.

研究の動機と目的

• ハッセ＝ヴェイユ区間内の整数のうち、$ F_q$ 上のアーベル多様体に対して $ F_q$-有理点の個数として実現可能なものがどれであるかを特定すること。
• ホウとケドレイアが $ F_2$ 上ですべての正の整数が実現可能であることを示したのを、すべての素数冪 $q$ に拡張すること。
• 極端な点数を持つアーベル多様体の構成法を改善し、実現可能な整数の有効な下界を確立すること。
• 固定された次元 $n$ に対して、$q \to \infty$ のとき、ハッセ＝ヴェイユ区間内に含まれる実現可能な整数からなる最大の部分区間を特定し、漸近的に最適性を達成すること。
• 結果を指定された $p$-ランクを持つアーベル多様体に一般化し、特に合同条件を満たす非通常型の場合も含むこと。

提案手法

• ホーダン＝タート理論を用いてフロベニウス自己準同型を点数に結びつけ、問題を特定のウェイル数を持つアーベル多様体の構成に還元する。
• 単位円上の均衡測度と潜在的理論的手法を用いて、ウェイル数の分布およびそれに関連するアーベル多様体の性質を分析する。
• 重み付きエネルギー最小化と対数ポテンシャルを用いて、$p$-進付値と点数制約に関連する均衡測度の台と挙動を制御する。
• 関数 $\tau(x) = x + \sqrt{x^2 - 1}$ を用いて、複素平面内の区間を実直線に写像し、所望の性質を持つウェイル数の構成を可能にする。
• スタールとトティクの結果（外部場付き均衡測度に関する）を応用し、単位円上における測度の台とエネルギーの境界を導出する。
• 修正されたロビン定数と対数ポテンシャルを用いて有効な境界を確立し、すべての整数 $\geq q^{3\sqrt{q}\log q}$ が実現可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された素数冪 $q$ に対して、ハッセ＝ヴェイユ区間内のどの整数が、$ F_q$ 上のアーベル多様体 $A$ に対して $\#A(\nF_q)$ として実現可能か？
• RQ2 十分に大きな正の整数は、すべての $\nF_q$ 上で幾何的に単純で、通常型であり、主偏極を備えたアーベル多様体 $A$ に対して、$\nF_q$-有理点の個数として実現可能か？
• RQ3 固定された次元 $n$ に対して、$q \to \infty$ のとき、ハッセ＝ヴェイユ区間内に含まれる実現可能な整数からなる最大の部分区間はどれか？
• RQ4 ディピッポとハウ（1998年）の古典的境界と比較して、実現可能な点数集合は漸近的に改善可能か？
• RQ5 結果を指定された $p$-ランク $r \in [0,n]$ を持つアーベル多様体に拡張可能か？このような実現に必要な算術的条件（例えば $p$ を法としての合同条件）は何か？

主な発見

• 任意の素数冪 $q$ に対して、すべての正の整数 $\geq q^{3\sqrt{q}\log q}$ は、$ F_q$ 上の幾何的に単純で、通常型であり、主偏極を備えたアーベル多様体 $A$ に対して、$\#A(\nF_q)$ として実現可能である。
• $q \leq 5$ の場合、すべての正の整数が $\#A(\nF_q)$ として実現可能であり、ホウとケドレイアの結果をすべての $q \leq 5$ に拡張している。
• 十分に大きな $n$ に対して、区間 $[(q - 2q^{1/2} + 3 - q^{-1})^n, (q + 2q^{1/2} - 1 - q^{-1})^n]$ 内のすべての整数が、$ F_q$ 上の $n$ 次元アーベル多様体 $A$ に対して $\#A(\nF_q)$ として実現可能である。
• 実現可能な整数の区間は、$n$ が大きいとき $[q^n, q^{n+1}]$ を含むため、すべての十分に大きな正の整数が $ F_q$ 上で実現可能であることが示唆される。
• この方法は、$q \to \infty$ のとき固定された $n$ に対して、理論的に達成可能な最良の境界と一致する漸近的最適性を達成しており、ディピッポとハウ（1998年）の境界を改善している。
• 指定された $p$-ランク $r \in [0,n]$ を持つアーベル多様体に対しても結果が拡張可能であり、$r = 0$ の場合、$m \equiv 1 \pmod{p}$ であることが条件として必要であり、これにより与えられた点数を持つような多様体の存在が保証される。