[論文レビュー] Abelian Yang-Mills theory on Real tori and Theta divisors of Klein surfaces

Christian Okonek, Andrei Teleman|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、クレイン曲面上のピカードトーラスの実部分における実行列式ラインバンドルの固定点バンドルの最初のスティーフェル・ホイットニー類を、アペル＝アントン理論と局所化技術を用いて計算する。主な結果は、$ w_1({\cal L}_{\kappa}^\tilde{\iota}) $ が $ w_1(\kappa^\tilde{\iota}) $ で表される明示的公式と、$ w_1({\cal L}_{p_0}^\tilde{\iota}) $ が $ p_0 \in C^\iota $ の接続成分で表されるものであり、実ゲージ理論および実代数幾何における可定向性の問題を解決する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to compute determinant index bundles of certain families of Real Dirac type operators on Klein surfaces as elements in the corresponding Grothendieck group of Real line bundles in the sense of Atiyah. On a Klein surface these determinant index bundles have a natural holomorphic description as theta line bundles. In particular we compute the first Stiefel-Whitney classes of the corresponding fixed point bundles on the real part of the Picard torus. The computation of these classes is important, because they control to a large extent the orientability of certain moduli spaces in Real gauge theory and Real algebraic geometry.

研究の動機と目的

• クレイン曲面上の行列式インデックスバンドルの最初のスティーフェル・ホイットニー類を計算することで、実ゲージ理論および実代数幾何における可定向性問題を解決すること。
• 実部分のピカードトーラス上での実行列式ラインバンドルを、固定集合上の実シータ特性または実点から生じるシータラインバンドルと特定すること。
• これらの実ラインバンドルの固定点バンドルの最初のスティーフェル・ホイットニー類を計算し、モジュライ空間の可定向性を制御すること。
• アペル＝アントンデータと局所化を用いて、$ w_1({\cal L}_{\kappa}^{\tilde{\iota}}) $ および $ w_1({\cal L}_{p_0}^{\tilde{\iota}}) $ の完全な公式を確立すること。
• 低次元幾何における実セイバーウェンス理論および実ゲージ線形スメールモデルの基礎的道具を提供すること。

提案手法

• アペル＝アントン理論を用いて、ピカードトーラス上での実シータラインバンドル $ {\cal L}_{\kappa} $ および $ {\cal L}_{p_0} $ のアペル＝アントンデータを計算する。
• $ {\cal L}_{\kappa} $ のアペル＝アントンデータから最初のスティーフェル・ホイットニー類 $ w_1({\cal L}_{\kappa}^{\tilde{\iota}}) $ を抽出する。
• 実ラインバンドル $ (L_{\kappa}, \tilde{\iota}_{{\cal L}_{\kappa}}) $ と $ (L_{p_0}, \tilde{\iota}_{{\cal L}_{p_0}}) $ を比較し、それらのスティーフェル・ホイットニー類の関係を特定する。
• 自己同型を持つ多様体上の $ \mathbb{Z}_2 $-等変バンドルに適応可能な局所化公式を適用し、境界成分として $ \mathbb{P}_{\mathbb{R}}(N_{X^\iota/X} \oplus \underline{\mathbb{R}}) $ を用いる。
• ホイットニー和の公式とチェーン＝ユーグ類を用いて、射影バンドル上の下降バンドルの全スティーフェル・ホイットニー類を分解する。
• 局所化公式を導出する：$ \langle w_2(_{\mathbb{R}}E), [X]_2 \rangle = \langle w_1(E^{\tilde{\iota}}) + \frac{r(r-1)}{2}w_1(N_{X^\iota/X}), [X^\iota]_2 \rangle $ は、固定集合がcodim 1 の閉じた実2次元多様体上の実ランク$ r $バンドルに対して有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クレイン曲面上の実シータ特性に関連する実行列式ラインバンドルの固定点バンドルの最初のスティーフェル・ホイットニー類は何か？
• RQ2 実点 $ p_0 \in C^\iota $ の同じ接続成分内に属する場合、実シータラインバンドルの固定点バンドルの最初のスティーフェル・ホイットニー類はどのように依存するか？
• RQ3 実ゲージ理論におけるモジュライ空間の可定向性は、ピカードトーラス上の実行列式ラインバンドルの $ w_1 $ を計算することで特定可能か？
• RQ4 自己同型を持つ多様体上の $ \mathbb{Z}_2 $-等変スティーフェル・ホイットニー類に適応可能な局所化公式は存在するか？その適用可能性は実シータラインバンドルに及ぶか？
• RQ5 実トーラス上の実ラインバンドルのアペル＝アントンデータは、その $ \mathbb{Z}_2 $-等変構造および関連するスティーフェル・ホイットニー類をどのように符号化するか？

主な発見

• 最初のスティーフェル・ホイットニー類 $ w_1({\cal L}_{\kappa}^{\tilde{\iota}}) $ は明示的に $ w_1(\kappa^{\tilde{\iota}}) $ として計算され、これはシータ特性の実構造にのみ依存することが示された。
• 最初のスティーフェル・ホイットニー類 $ w_1({\cal L}_{p_0}^{\tilde{\iota}}) $ は $ p_0 \in C^\iota $ の接続成分によって決定され、同じ成分内での $ p_0 $ の選択には依存しない。
• 局所化公式が導出された：$ \langle w_2(_{\mathbb{R}}E), [X]_2 \rangle = \langle w_1(E^{\tilde{\iota}}) + \frac{r(r-1)}{2}w_1(N_{X^\iota/X}), [X^\iota]_2 \rangle $ は、固定集合がcodim 1 の閉じた実2次元多様体上の実ランク$ r $バンドルに対して有効である。
• 実行列式ラインバンドル $ (L_{\kappa}, \tilde{\iota}_{{\cal L}_{\kappa}}) $ および $ (L_{p_0}, \tilde{\iota}_{{\cal L}_{p_0}}) $ は、実トーラス上の実ラインバンドルを分類するグローテンディーク群 $ H^2_{\mathbb{Z}_2}(\mathrm{Pic}^0(C), \underline{\mathbb{Z}}(1)) $ の元として示された。
• この計算により、実ゲージ理論および実代数曲線のモジュライ空間における可定向性の障害が解消された。これらの類は、向きの存在を制御する。
• 対称べき $ S^d(C) $ 上での例示により、このようなモジュライ空間の可定向性が、本稿で計算された $ w_1 $ 類によって支配されることを示した。