[論文レビュー] About the globular homology of higher dimensional automata

Philippe Gaucher|ArXiv.org|Feb 25, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、ハイパーサイリカル・オートマトン（HDA）のための新しい単体的ニューロン構成を導入し、従来のグローブホモロジー理論の主な限界を解消する。コーナー・ニューロン上に精緻化されたグローブカットと単体的構造を定義することにより、分割や高次元の面の圧縮といった合理的な変形に対して不変性を保証するとともに、分岐および合流ホモロジーの幾何的解釈を単体的準同型として回復する。

ABSTRACT

We introduce a new simplicial nerve of higher dimensional automata whose homology groups yield a new definition of the globular homology. With this new definition, the drawbacks noticed with the construction of math.CT/9902151 disappear. Moreover the important morphisms which associate to every globe its corresponding branching area and merging area of execution paths become morphisms of simplicial sets.

研究の動機と目的

• HDAの合理的な変形（例：分割や高次元面の圧縮）に対して不変でないことが判明した従来のグローブホモロジー理論の欠陥を是正すること。
• 分岐および合流を単体的準同型として再解釈できる、新しい単体的ニューロン構成に基づくグローブホモロジーの再定義。
• 立方体 $I^n$ における正の次元での非消滅ホモロジーを解消すること。これは変形不変性の期待に反する。
• グローブの分岐および合流のコーナーへの写像 $h^{-}$ および $h^{+}$ が、新しい構成において自然に単体的であることを確立し、コンcurrency理論における応用性を強化すること。

提案手法

• HDAの分岐および合流のニューロンから導出される新しい単体的ニューロン、すなわち「グローブカット」を導入し、コーナー集合上の単体的構造を精緻化する。
• グローブホモロジー $H^{gl}$ が自然に埋め込まれるアーベル群の図式を構成し、$h^{-}$ および $h^{+}$ をグローブからそのコーナー領域への単体的準同型として定義する。
• $ω$-ファンクター上の演算 $S$、$T$、$*$ を用いて、$\underline{\mathcal{N}^{gl}_{*}}$ と呼ばれる新しい単体的対象を定義し、$n$-自己準同型の小カテゴリ構造を形成する。
• この単体的カテゴリに分類空間関手を適用し、二重単体的集合を生成することで、分割および変形不変性と整合性を保証する。
• チェーン複体に $A*_{1}B = A + B$ のような関係を課すことにより、特に $I^3$ および $I^n$ における不適切なサイクルを排除し、立方体における正の次元でのホモロジーが消滅することを保証する。
• 得られたホモロジーが $S$-および $T$-変形に対して不変であることを証明し、$I^n$ と向き付き直線がホモトピー同値であるという期待に一致することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 HDAの合理的な変形（例：分割や面の圧縮）に対して不変となるような、グローブホモロジーの新しい定義を構築できるか。
• RQ2 なぜ元のグローブホモロジーは $n \geq 3$ の $I^n$ で正の次元に非消滅ホモロジーを示したのか。この問題はどのように是正できるか。
• RQ3 グローブをその分岐および合流のコーナーへ写像する準同型 $h^{-}$ および $h^{+}$ は、新しい構成において自然に単体的であるか。
• RQ4 新しい単体的ニューロン構造により、$I^n$ の総ホモロジーが変形理論の期待どおりに向き付き直線のホモロジーと一致するか。
• RQ5 コーナー・ニューロンを、面および退化写像を尊重する単体的対象として構造化できるか。これにより、整合的な分類空間の構成が可能になるか。

主な発見

• 新しいグローブホモロジー構成により、$I^n$（特に $I^3$ を含む）における正の次元での非消滅ホモロジーが、チェーン複体に $A*_{1}B = A + B$ のような関係を課すことによって解消された。
• 準同型 $h^{-}$ および $h^{+}$ は今や自然に単体的である。つまり、面および退化写像を保存するため、幾何的および圏論的解釈が強化された。
• $n$-立方体 $I^n$ および向き付き直線の総ホモロジーは、次数 0 において $\mathbb{Z}$ に同型であり、$S$-および $T$-変形に対する変形不変性が確認された。
• この構成により、小カテゴリの圏における整合的な増分単体的対象 $\underline{\mathcal{N}^{gl}_{*}}$ が得られ、適切な面および退化写像を備えた。
• この単体的カテゴリの分類空間から得られる二重単体的集合は、分割に対して良好に振る舞い、時間の分割に対するホモロジーの不変性を支持する。
• $p$-自己準同型（$p \geq 2$）が $*_{i}$（$i \geq 1$）に関して可逆である場合、グローブ・ニューロンはケン条件を満たすが、$R(0+0)$ のような重要な自己準同型が削除された場合、コーナー・ニューロンではこの条件が成立しない。