[論文レビュー] Absolute versus Relational Debate: a Modern Global Version

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|May 24, 2018

Post-Soviet Geopolitical Dynamics参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、対称的絶対空間に基づく関係的理論—ケンダール型形状理論や一般相対性理論の超空間など—が、自己同型群を商した後も残る対称性の記憶によって階層構造（stratification）を生じることを主張する。代わりに、非自明な一般化されたキリングベクトルをもたない一般化された絶対空間を採用することで、階層構造が消失し、自明で階層のない配置空間が得られることを示す。これにより、現実的で非対称なキャリア空間をよりよく反映する、局所的かつ近似的な形状理論への移行が促される。

ABSTRACT

Suppose one seeks to free oneself from a symmetric absolute space by quotienting out its symmetry group. This in general however fails to erase all memory of this absolute space's symmetry properties. Stratification is one major reason for this, which is present in both a) Kendall-type Shape Theory and subsequent Relational Mechanics, and b) General Relativity configuration spaces. We consider the alternative starting point with a generic absolute space, meaning with no nontrivial generalized Killing vectors whatsoever. In this approach, generically Shape-and-Scale Theory is but trivially realized, there is no separate Shape Theory and indeed no stratification. While the GR configuration space version of these considerations was already expounded in 1996 by Fischer and Moncrief, the Kendall-type shape theory version is new to the current article. In each case, this amounts to admitting some small deformation by which symmetry's hard consequences at the level of reduced configuration spaces are warded off.We end by discussing the senses in which each of the above two strategies retain absolutist features, each's main known technical advantages and disadvantages, and the desirability of replacing Kendall-type Shape Theory with a Local-and-Approximate Shape Theory. This article is in honour of Prof. Niall ó Murchadha, on the occasion of his Festschrift.

研究の動機と目的

• 対称的絶対空間（ケンダール型形状理論や一般相対性理論の超空間など）に基づく関係的理論に根ざした階層構造の持続的問題を解決すること。
• 非自明な一般化されたキリングベクトルをもたない一般化された絶対空間—すなわち、階層構造を生じさせない—が、自明で階層のない配置空間を生むことを示すこと。
• 対称空間を商する方法（階層構造あり）と一般化された空間を用いる方法（階層構造なし）の技術的利点と残存する絶対的特徴を対比すること。
• グローバルかつ正確な関係的理論の代わりに、現実的で非対称な物理的空間をよりよく反映する、局所的・近似的形状理論への移行を提唱すること。
• 一般相対性理論の超空間に関するフィッシャー＝モンクリーフの知見を、一般化されたケンダール型関係的理論および形状統計の分野へと拡張すること。

提案手法

• 一般化されたキリング方程式のトポロジーへのグローバルな感受性と、商空間の階層構造という2つの根本的要因を特定することで、対称性を商しても絶対空間の幾何学的記憶が完全に消えないことを分析する。
• ヤーノの枠組みに従い、一般化されたキリングベクトルの概念を用いて、ユークリッド、類似、アフィン、射影などの異なる幾何群における配置空間内の対称性の残滓を分析する。
• ストラトフィケーションのない2つのモデル（円と直線）を比較することで、トポロジーが対称性記憶に果たす役割を隔離し、非階層的ケースに関する先行研究を補完する。
• 1996年のフィッシャー＝モンクリーフの一般相対性理論の超空間および共形超空間に関する分析を拡張し、一般化された多様体が自明な安定化群のおかげで階層構造を回避することを示す。
• 局所的・近似的形状理論の概念を提唱し、近似的な対称性（例：近似的キリングベクトル）と平坦なチャートが、正確なグローバル対称性に代わるものとなる。
• 曲がった空間やコンパクト空間（例：S^d, T^d）上の小スケールの形状は、R^d上の形状を制御された重ね合わせと近似的不変量（例：ケンダールのε-同一直線性）を用いて近似可能であると提唱する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関係的理論における対称性群の商処理が、元の絶対空間の幾何学的記憶を完全に消去できないのはなぜか？
• RQ2 非自明な一般化されたキリングベクトルをもたない一般化された絶対空間—R^nのような対称空間が抱える階層構造を回避する理由は、どのような意味で成立するのか？
• RQ3 一般化された配置空間における階層構造の不在が、関係的力学および形状理論の定式化にどのような影響を及えるか？
• RQ4 関係的物理学において、一般化された絶対空間を対称的空間よりも用いることの技術的および概念的利点は何か？
• RQ5 現実的で非対称な物理的設定において、正確でグローバルな関係的理論に代わる、局所的・近的な形状理論を厳密に定式化することは可能か？

主な発見

• 非自明な一般化されたキリングベクトルをもたない一般化された絶対空間は、R^nのような対称空間とは異なり、階層構造のない自明な配置空間を生じる。
• 階層構造は、商空間における非自明な安定化群とトポロジー的制約に起因し、対称性削減後も依然として残存する。
• 1996年のフィッシャー＝モンクリーフの一般相対性理論の超空間および共形超空間に関する分析を、一般化された多様体が自明な自己同型群のおかげで階層構造を回避することに拡張した。
• ケンダール型形状理論およびその一般化は、一般化された空間では自明に実現され、別個の形状やスケール構造もなく、階層構造もない。
• 有限点粒子系の関係的理論は、すべての可能なキャリア空間の空間において測度ゼロであるため、対称的モデルは例外的であり、一般化された状態ではない。
• 局所的・近的な形状理論が代替案として有効であると提唱され、T^d や S^d 上の小スケール形状は、平坦なチャートと近似的不変量（例：ε-同一直線性）を用いてR^d上の形状に近似可能である。