[論文レビュー] Ac-conductivity and electromagnetic energy absorption for the Anderson model in linear response theory

Abel Klein, Peter Müller|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2014

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、アンドリュー模型における非零温度下での交流導電率測度の非自明性を確立し、高温極限および不純度に関する漸近挙動を導出し、線形応答理論における電磁エネルギー吸収を導電率測度を用いて表現する。主な結果は、エネルギー吸収を $ W_{\text{lin}}^T(\widetilde{u}) = 2\widetilde{u} \big( \Sigma_{\mu}^T(d\nu) \big) |\widehat{\mathcal{E}}(\nu)|^2 $ として与える公式であり、これは系のスペクトル測度と結びついている。

ABSTRACT

We continue our study of the ac-conductivity in linear response theory for the Anderson model using the conductivity measure. We establish further properties of the conductivity measure, including nontriviality at nonzero temperature, the high temperature limit, and asymptotics with respect to the disorder. We also calculate the electromagnetic energy absorption in linear response theory in terms of the conductivity measure.

研究の動機と目的

• アンドリュー模型における非零温度下での交流導電率測度の非自明性を確立すること。
• 導電率測度の高温極限および不純度強度に関する漸近的挙動を導出すること。
• 線形応答理論における電磁エネルギー吸収を導電率測度を用いて表現すること。
• 特に局在化および確率的シュレーディンガー作用素の文脈において、導電率測度を通じてエネルギー吸収と系のスペクトル的性質を結びつけること。

提案手法

• 中心的な対象として導電率測度 $ \Sigma_{\mu}^T(d\nu) $ を用い、ランダムなシュレーディンガー作用素 $ H = -\Delta + V_\omega $ を持つアンドリュー模型における線形応答理論によって定義される。
• 系のエネルギーの時間微分を用いてエネルギー吸収を導出し、トレースの循環的不変性およびハイゼンベルクの運動方程式を応用する。
• 線形応答電流は、交換子 $ [X_1, H(t)] $ を通じて計算され、導電率測度および電場のフーリエ変換 $ \widehat{\mathcal{E}}(\nu) $ を含む表現が得られる。
• 最終的な吸収公式は、$ \Sigma_{\mu}^T $ が偶関数であることを利用し、周波数 $ \nu $ における積分としてエネルギーを表現することで得られ、$ W_{\text{lin}}^T(\mathcal{E}) = 2\pi \int \Sigma_{\mu}^T(d\nu) |\widehat{\mathcal{E}}(\nu)|^2 $ となる。
• 解析はアンドリューハミルトニアンのエルゴード性および有限温度における平衡状態に用いられるフェルミ・デイブ分佈の利用に依存する。
• 導出は、$ T > 0 $ または $ \mu \in \Xi_0 $ の条件下で有効であり、トレースが適切に定義され、エネルギー変化が有限であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アンドリュー模型において、非零温度下での交流導電率測度は非自明か？
• RQ2 導電率測度の高温極限は何か？
• RQ3 不純度強度を増大させた際、導電率測度はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ4 線形応答理論において、電磁エネルギー吸収はどのように導電率測度と関係するか？
• RQ5 リウヴィル作用素 $ \mathcal{L} $ のスペクトル台が、エネルギー吸収に寄与する周波数をどのように決定するか？

主な発見

• 非零温度下でも導電率測度 $ \Sigma_{\mu}^T $ は非自明であり、これはゼロ関数でないことを意味する。特に局在化領域でも同様である。
• 導電率測度 $ \Sigma_{\mu}^T $ の高温極限が存在し、状態密度およびフェルミ・デイブ分포を用いて特徴づけられる。
• 不純度強度が増大するに従い、導電率測度は特定の漸近的挙動を示し、局在化効果と整合するように測度が集中する。
• 線形応答における電磁エネルギー吸収は $ W_{\text{lin}}^T(\mathcal{E}) = 2\pi \int_{\mathbb{R}} \Sigma_{\mu}^T(d\nu) |\widehat{\mathcal{E}}(\nu)|^2 $ として与えられ、これは非負かつ有限である。
• 直流成分がゼロである電場（$ \widehat{\mathcal{E}}(0) = 0 $）に対して、吸収は $ \frac{\pi^2}{2T} C_{\mu}^T \int \Upsilon(d\nu) |\widehat{\mathcal{E}}(\nu)|^2 $ で下から抑えられ、有限温度下で有限の最小吸収率が保証される。
• エネルギー吸収に寄与するのは、$ \nu \in \sigma(\mathcal{L}) $ に属する周波数のみであり、吸収は $ \Sigma_{\mu}^T $ のこのスペクトル集合への制限によって完全に決定される。