[論文レビュー] Accurate calculation of oblate spheroidal wave functions

Van Buren, L Arnie|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2017

Geophysics and Gravity Measurements参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、64ビット浮動小数点演算を用いて、広範なパrameter範囲にわたり、回転楕円体関数 R1ml および R2ml を高精度に計算するための頑健な数値的手法を提示する。従来の手法が失敗する状況を克服する。球関数を含む級数展開、積分表現、大きな c における固有値の近似等価性、および修正された係数計算を用い、Fortranプログラム（Oblfcn）を実装した。このプログラムは、m ≤ 1000 および c ≤ 2000 の範囲で少なくとも8桁の正確性を達成し、128ビット演算を用いることで15桁以上、全 xi 範囲をカバーできる。

ABSTRACT

Alternative expressions for calculating the oblate spheroidal radial functions of both kinds R1ml and R2ml are shown to provide accurate values over very large parameter ranges using 64 bit arithmetic, even where the traditional expressions fail. First is the expansion of the product of a radial function and the angular function of the first kind in a series of products of the corresponding spherical functions, with the angular coordinate being a free parameter. Setting the angular coordinate equal to zero leads to accurate values for R2ml when the radial coordinate xi is larger than 0.01 and l is somewhat larger than m. Allowing it to vary with increasing l leads to highly accurate values for R1ml over all parameter ranges. Next is the calculation of R2ml as an integral of the product of S1ml and a spherical Neumann function kernel. This is useful for smaller values of xi. Also used is the near equality of pairs of low order eigenvalues when the size parameter c is large that leads to accurate values for R2ml using neighboring accurate values for R1ml. A modified method is described that provides accurate values for the necessary expansion coefficients when c is large and l is near m and traditional methods fail. A resulting Fortran computer program Oblfcn almost always provides radial function values with at least 8 accurate decimal digits using 64 bit arithmetic for m up to at least 1000 with c up to at least 2000 when xi is greater than 0.000001 and c up to at least 5000 when xi is greater than 0.01. Use of 128 bit arithmetic extends the accuracy to 15 or more digits and extends xi to all values other than zero. Oblfcn is freely available.

研究の動機と目的

• 広範なパrameter範囲にわたり、従来の手法が数値的に不安定で失敗する回転楕円体径関数 R1ml および R2ml の計算を解決すること。
• 標準的な64ビット浮動小数点演算を用いても、m, c, xi の極端な値においても高い正確性を維持する手法を開発すること。
• 従来の手法が失敗する、xi の小さな値（1e-6 まで）および高い m や c の値（最大5000まで）の範囲にまで径関数の計算範囲を拡張すること。
• 波動伝搬および散乱問題において高精度な結果が求められる研究者に利用可能な信頼性の高い、自由に利用可能な計算ツール（Oblfcn）を提供すること。

提案手法

• 径関数および角関数の第一種の積を、角座標を自由パrameterとする球関数の積の級数に展開し、ゼロ角座標における R2ml の正確な評価を可能にする。
• l の増加に応じてスケーリングされる可変角座標を用い、すべてのパrameter範囲で R1ml の正確な値を得る。
• R2ml を、回転楕円体関数 S1ml と球ノイマン関数カーネルを含む積分表現で表し、xi が小さい値のときにも有効である。
• 大きなサイズパrameter c における低次の固有値の近似等価性を活用し、隣接する R1ml 値から R2ml を正確に計算する。
• c が大きく、かつ l が m に近い場合に従来の手法が失敗する状況において、展開係数を計算するための修正アルゴリズムを導入する。
• 64ビット演算をデフォルトとして使用するが、128ビット演算をサポートするFortranプログラム（Oblfcn）としてこの手法を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な64ビット浮動小数点演算を用いて、極めて広範なパrameter範囲にわたり、回転楕円体径関数を正確に計算できるか？
• RQ2 xi が小さく、かつ m や c が大きい場合に、従来の R1ml および R2ml の計算手法における数値的不安定性はどのように克服できるか？
• RQ3 大きな c における固有値の近似等価性を、R1ml の値を用いて R2ml の正確性を向上させるためにどの程度活用できるか？
• RQ4 c が大きく、l が m に近い場合に、標準的手法が失敗する状況で係数計算に必要な修正は何か？
• RQ5 汎用的で自由に利用可能な計算ツールは、m, c, xi 全体の範囲にわたり一貫した高精度（例：8桁以上）を達成できるか？

主な発見

• 提案手法により、64ビット演算を用いて m が少なくとも1000、c が少なくとも2000、xi > 0.000001 の範囲で R1ml および R2ml を正確に計算可能である。
• xi > 0.01 の範囲では、同じ正確性で c が少なくとも5000まで拡張可能であり、適用範囲の拡張が示された。
• Oblfcn における128ビット演算の使用により、正確性が15桁以上に向上し、ゼロを除くすべての xi 値での計算が可能になった。
• Oblfcn プログラムは、指定されたパrameter範囲全域で径関数に対して常に少なくとも8桁の正確な小数桁数を達成している。
• 級数展開および積分に基づくアプローチは、従来の表現が失敗する状況、特に極端なパrameter領域でも安定的かつ正確な結果を提供する。
• c が大きく、l が m に近い場合に生じる数値的失敗を、修正された係数計算手法が効果的に解決した。