[論文レビュー] Actor of an alternative algebra

J. M. Casas, Tamar Datuashvili+1 more|ArXiv.org|Oct 3, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、体 $F$ 上の $g$-代数のカテゴリ $\mathfrak{B}(A)$ を、任意の $g$-代数 $A$ に対して普遍的厳密一般作用素として構成する。$\operatorname{Asoci}(A) = 0$ ならば、$\mathfrak{B}(A)$ は $g$-代数のカテゴリにおける $A$ の作用素であることが示され、特に、零 annihilator を持つ反交換的代数的代数に対しては、$\mathfrak{B}(A)$ は代数的かつ結合的代数となり、代数的代数のカテゴリにおける作用素をもたらす。

ABSTRACT

We define a category $\galt$ of g-alternative algebras over a field $F$ and present the category of alternative algebras $\alt$ as a full subcategory of $\galt$; in the case $\ch F eq 2$, we have $\alt=\galt$. For any g-alternative algebra $A$ we give a construction of a universal strict general actor $\cB(A)$ of $A$. We define the subset $\asoci(A)$ of $A$, and show that it is a $\cB(A)$-substructure of $A$. We prove that if $\asoci(A)=0$, then there exists an actor of $A$ in $\galt$ and $\act(A)=\cB(A)$. In particular, we obtain that if $A$ is anticommutative and $\ann(A)=0$, then there exists an actor of $A$ in $\galt$; from this, under the same conditions, we deduce the existence of an actor in $\alt$.

研究の動機と目的

• $g$-代数のカテゴリ ($\operatorname{gAlt}$) を、代数的代数のカテゴリ ($\operatorname{Alt}$) を拡張する関心のカテゴリとして定義すること。
• 半アーベル的および関心のカテゴリフレームワークからの圏論的手法を用いて、任意の $g$-代数 $A$ に対して普遍的厳密一般作用素 $\mathfrak{B}(A)$ を構成すること。
• $\mathfrak{B}(A)$ が $\operatorname{gAlt}$ における実際に $A$ の作用素となる十分条件を同定すること、そしてそれによって $\operatorname{Alt}$ においても同様に成立すること。
• $\operatorname{Ann}(A) = 0$ を満たす反交換的代数的代数に対して、$\mathfrak{B}(A)$ が代数的かつ結合的代数であることを確立し、$\operatorname{Alt}$ における作用素の存在を保証すること。

提案手法

• $\operatorname{gAlt}$ を関心のカテゴリとして定義し、$\operatorname{Alt}$ をその完全部分カテゴリとし、$\operatorname{char}F \neq 2$ のとき $\operatorname{Alt} = \operatorname{gAlt}$ であることを示すこと。
• 内部作用と分割拡張分類子の圏論的枠組みを用いて、任意の $g$-代数 $A$ に対して普遍的厳密一般作用素 $\mathfrak{B}(A)$ を構成すること。
• $\operatorname{Asoci}(A) \subseteq A$ を導入し、これが $\mathfrak{B}(A)$-部分構造であることが証明され、$\mathfrak{B}(A)$ が $g$-代数であるかどうかを決定する主要な不変量として用いること。
• $\operatorname{gAlt}$ における導出作用を定義し、$\mathfrak{B}(A)$-作用が導出作用であることは、かつは $\operatorname{Asoci}(A) = 0$ であることと同値であることを示すこと。
• $\mathfrak{B}(A)$ の普遍性と条件 $\mathfrak{B}(A) \ltimes A \in \operatorname{gAlt}$ を用いて、$\operatorname{Asoci}(A) = 0$ のとき $\mathfrak{B}(A)$ が $\operatorname{gAlt}$ における $A$ の作用素であることを導出すること。
• $\operatorname{Bim}_{\operatorname{Alt}}(A)$ である双乗法の代数と同様の構成に類似した、作用素の別表現を提供すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $g$-代数 $A$ の普遍的厳密一般作用素 $\mathfrak{B}(A)$ が、カテゴリ $\operatorname{gAlt}$ において実際に作用素となる条件は何か？
• RQ2 $\operatorname{Asoci}(A)$ は $\mathfrak{B}(A)$ の構造および $\mathfrak{B}(A)$ が $\operatorname{gAlt}$ に属するかどうかにどのように影響を与えるか？
• RQ3 $\mathfrak{B}(A)$ が代数的代数となる条件は何か。また、特に反交換的代数に対しては、いつ結合的代数となるか？
• RQ4 $\operatorname{Ann}(A) = 0$ の条件下で、$\operatorname{Alt}$ における作用素 $\operatorname{Act}(A)$ と普遍的厳密一般作用素 $\mathfrak{B}(A)$ の関係は何か？
• RQ5 代数的代数における作用素の構成は、双乗法の代数を用いて記述可能か。また、これにより、既知の結合的代数およびリー代数の構成とどのように比較できるか？

主な発見

• $\operatorname{Asoci}(A) = 0$ ならば、$\mathfrak{B}(A)$ は $g$-代数であり、$\mathfrak{B}(A)$-作用は導出作用であるため、$\mathfrak{B}(A) = \operatorname{Act}(A)$ が $\operatorname{gAlt}$ で成り立つ。
• $\operatorname{Ann}(A) = 0$ を満たす任意の反交換的 $g$-代数 $A$ に対して、$\mathfrak{B}(A)$ は結合的代数であり、したがって $\mathfrak{B}(A) \in \operatorname{Alt}$ である。
• 特性 2 の場合、$A$ が反交換的で $\operatorname{Ann}(A) = 0$ ならば、$\mathfrak{B}(A)$ は代数的かつ結合的代数であり、$\operatorname{Alt}$ における $\mathfrak{B}(A) = \operatorname{Act}(A)$ を保証する。
• $\mathfrak{B}(A)$-作用が $\operatorname{gAlt}$ で導出作用であることは、かつは $\operatorname{Asoci}(A) = 0$ であることと同値であり、これは $\mathfrak{B}(A)$ が $\operatorname{gAlt}$ における作用素であるための必要十分条件である。
• 特性 2 の体上に反交換的代数的代数で $\operatorname{Ann}(A) = 0$ を満たすものに対して、$\mathfrak{B}(A)$ は双乗法の代数 $\operatorname{Bim}_{\operatorname{Alt}}(A)$ に同型であり、したがって $\mathfrak{B}(A) = \operatorname{Act}(A)$ である。
• $\mathfrak{B}(A)$ を普遍的厳密一般作用素として構成することで、$\mathfrak{B}(A) \ltimes A \in \operatorname{gAlt}$ であることと、$\mathfrak{B}(A)$ が $\operatorname{gAlt}$ における $A$ の作用素であることとは同値であることが保証され、作用素存在の圏論的基準が得られる。