[論文レビュー] Actuator Dynamics Compensation in Stabilization of Abstract Linear Systems

Hongyinping Feng, Xiaohui Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、状態フィードバックを用いてアクチュエータ動的を補償することで、抽象的無限次元級連系の安定化を体系的に行う手法を提案する。上三角型変換を新たに導入し、リャプノフ関数に依存せずに、指数的安定性を確立する。これにより、ODEにPDE型アクチュエータを有する系や、PDEに有限次元アクチュエータを有する系、特に入力遅れや不安定な熱方程式といった困難なケースに対応できる。

ABSTRACT

This is the first part of four series papers, aiming at the problem of actuator dynamics compensation for linear systems. We consider the stabilization of a type of cascade abstract linear systems which model the actuator dynamics compensation for linear systems where both the control plant and its actuator dynamics can be infinite-dimensional. We develop a systematic way to stabilize the cascade systems by a full state feedback. Both the well-posedness and the exponential stability of the resulting closed-loop system are established in the abstract framework. A sufficient condition of the existence of compensator for ordinary differential equation (ODE) with partial differential equation (PDE) actuator dynamics is obtained. The feedback design is based on a novelly constructed upper-block-triangle transform and the Lyapunov function design is not needed in the stability analysis. As applications, an ODE with input delay and an unstable heat equation with ODE actuator dynamics are investigated to validate the theoretical results. The numerical simulations for the unstable heat system are carried out to validate the proposed approach visually.

研究の動機と目的

• 無限次元の制御対象とアクチュエータ動的の両方が無限次元であるような抽象的級連系の安定化のための統一的かつ体系的なアプローチを開発すること。
• 有限次元のアクチュエータ動的を用いて無限次元系（例：PDE）を安定化するという長年の課題に取り組むこと。
• ヒューリスティックな目標系設計やカーネルPDEに依存する従来のPDEバックステッピング法の限界を克服すること。
• リャプノフ関数の構築を要せず、閉ループ系の適切な定義および指数的安定性を確立すること。
• 入力遅れ補償におけるODEおよび不安定熱方程式の安定化という2つの主要な問題に対して、本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 級連系を独立した部分系に分離するための新規な上三角型変換を構築する。
• システムの分離を達成するためにシルベスタ作用素方程式を解く手法に依存し、$A_1$ もしくは $A_2$ の少なくとも一方が有界であれば、問題が扱いやすくなる。
• リャプノフ関数の設計を必要とせず、半群理論と固有値解析を用いて安定性を証明する。
• 分離されたシステムからフィードバック則を導出し、閉ループ系の指数的安定性を保証する。
• 数値シミュレーションにより、入力遅れを有するODEおよびODEアクチュエータを有する不安定熱方程式への応用を検証する。
• 変換は可制御性を保ち、無限次元の制御対象に対して有限次元制御設計手法を適用可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の無限次元アクチュエータ動的を有する級連系を安定化するための統一的フレームワークを構築できるか？
• RQ2 制御対象が無限次元でアクチュエータが有限次元である系において、アクチュエータ動的補償をどのように達成できるか？
• RQ3 PDEバックステッピングやリャプノフ関数に依存せずに、ODE-PDEおよびPDE-ODE級連系を体系的に安定化する方法は何か？
• RQ4 シルベスタ方程式アプローチを用いて、非有界作用素を有する複雑な級連系を分離・安定化できるか？
• RQ5 有限次元コントローラーは、不安定熱方程式のような無限次元系を効果的に安定化できるか？

主な発見

• PDE型アクチュエータを有するODE系に対して、補償器の存在の十分条件を、シルベスタ方程式の可解性に基づいて確立した。
• 提案された全状態フィードバック則のもとで、閉ループ系が適切に定義され、指数的に安定であることが証明された。
• ODEアクチュエータを有する不安定熱方程式に対して、有限次元コントローラーが無限次元の制御対象を効果的に安定化した。スペクトル配置により安定極が-2に配置された。
• 数値シミュレーションによりコントローラーの有効性が確認され、PDEおよびODE部の両方で滑らかな制御入力と迅速な状態軌道の減衰が観察された。
• 入力遅れを有するODEの安定化にも成功し、輸送PDEとしてモデル化された時遅れ系への適用可能性が示された。
• 本手法は一般性を有し、Euler-Bernoulliビーム動的やその他の複雑なPDEに対しても拡張可能であり、後続の研究で検証された。