[論文レビュー] Acyclic coloring of special digraphs

Frank Gurski, Dominique Komander+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 52被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、定数の有向クライク幅をもつ有向グラフの双色数を計算する最初の多項式時間アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、入力有向グラフの有向クライク幅表現木に基づくトップダウンの動的計画法を用いる。主な貢献は、有向クライク幅でパラメータ化されたXPアルゴリズムと、有向クライク幅および色の数の両方でパラメータ化されたFPTアルゴリズムであり、有向コグラフおよびその一般化に対して線形時間解法を提供する。

ABSTRACT

An acyclic r-coloring of a directed graph G=(V,E) is a partition of the vertex set V into r acyclic sets. The dichromatic number of a directed graph G is the smallest r such that G allows an acyclic r-coloring. For symmetric digraphs the dichromatic number equals the well-known chromatic number of the underlying undirected graph. This allows us to carry over the W[1]-hardness and lower bounds for running times of the chromatic number problem parameterized by clique-width to the dichromatic number problem parameterized by directed clique-width. We introduce the first polynomial-time algorithm for the acyclic coloring problem on digraphs of constant directed clique-width. From a parameterized point of view our algorithm shows that the Dichromatic Number problem is in XP when parameterized by directed clique-width and extends the only known structural parameterization by directed modular width for this problem. Furthermore, we apply defineability within monadic second order logic in order to show that Dichromatic Number problem is in FPT when parameterized by the directed clique-width and r. For directed co-graphs, which is a class of digraphs of directed clique-width 2, and several generalizations we even show linear time solutions for computing the dichromatic number. Furthermore, we conclude that directed co-graphs and the considered generalizations lead to subclasses of perfect digraphs. For directed cactus forests, which is a set of digraphs of directed tree-width 1, we conclude an upper bound of 2 for the dichromatic number and we show that an optimal acyclic coloring can be computed in linear time.

研究の動機と目的

• 特殊クラスの有向グラフにおける双色数問題の効率的アルゴリズムの開発。
• 特に構造的パラメータが有界なクラスに対して、有向グラフにおける無閉路彩色の計算複雑性の解明。
• 有向クライク幅を用いて、無向グラフ彩色のパラメータ化複雑性結果を有向グラフへ拡張すること。
• 双色数問題が、有向クライク幅および色の数でパラメータ化された場合にFPTであることを示すこと。
• 有向コグラフや有向カスケットフォレストなど、完全な有向グラフの部分クラスにおいて、双色数が効率的に計算可能であることを特定すること。

提案手法

• 入力有向グラフの有向クライク幅表現から導かれる根付き表現木に基づくトップダウンの動的計画法。
• 各部分木に対して、各無閉路色クラスごとに到達可能性ペアの多重集合を用いてラベルベースの到達可能性情報を保持する。
• 各色クラスが無閉路部分有向グラフを誘導するように必要な最小の色数を計算する。
• 有向クライク幅および色の数でパラメータ化した場合のFPT属を示すために、単項第二階論理（MSO）の定義可能性を適用する。
• 有向コグラフ（クライク幅2）および有向カスケットフォレスト（木幅1）の既知の構造的性質を活用し、線形時間アルゴリズムを導出する。
• 頂点数でパラメータ化した場合のFPT属を示すために、O(n²)変数をもつ整数計画法に無閉路彩色問題を変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数の有向クライク幅をもつ有向グラフに対して、双色数問題は多項式時間で解けるか？
• RQ2 有向クライク幅および色の数でパラメータ化した場合、双色数問題は固定パラメータ tractable（FPT）か？
• RQ3 有向コグラフおよびその一般化は、双色数を計算する線形時間アルゴリズムを備えているか？
• RQ4 有向クライク幅でパラメータ化した場合、双色数問題はXP時間で解けるか？
• RQ5 元の無向グラフのクライク幅でパラメータ化した場合、双色数問題はFPTか？

主な発見

• 本稿では、定数の有向クライク幅kをもつ有向グラフにおける双色数問題の最初の多項式時間アルゴリズムを提示する。実行時間はn^{2^{O(k²)}}である。
• 有向クライク幅および色の数の両方でパラメータ化した場合、双色数問題がMSO定義可能性を用いてFPTに属することが示された。
• 有向クライク幅2をもつ有向コグラフおよびその一般化では、双色数が線形時間で計算可能である。
• 有向木幅1をもつ有向カスケットフォレストでは、双色数は2以下であり、最適な無閉路彩色は線形時間で計算可能である。
• P = NPでない限り、元の無向グラフのクライク幅でパラメータ化した場合、双色数問題はFPTに属しない。
• 色数rでパラメータ化した場合、双色数問題はXPに属しない。なぜならDCN₂はNP完全であるからである。