[論文レビュー] Adaptive discontinuous Galerkin methods for nonlinear parabolic problems

Stephen Metcalfe|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 107被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非線形放物型問題に適用された不連続ガラーキン（dG）法の事後誤差推定および適応的アルゴリズムを開発する。具体的には、対流拡散方程式、常微分方程式および偏微分方程式における爆発現象、非線形界面問題を含む。主な貢献は、残差に基づく誤差推定を用いて、最適収束率を達成し、爆発時刻および鋭い層を正確に検出する空間時間適応的アルゴリズムの設計である。

ABSTRACT

This work is devoted to the study of a posteriori error estimation and adaptivity in parabolic problems with a particular focus on spatial discontinuous Galerkin (dG) discretisations. We begin by deriving an a posteriori error estimator for a linear non-stationary convection-diffusion problem that is discretised with a backward Euler dG method. An adaptive algorithm is then proposed to utilise the error estimator. The effectiveness of both the error estimator and the proposed algorithm is shown through a series of numerical experiments. Moving on to nonlinear problems, we investigate the numerical approximation of blow-up. To begin this study, we first look at the numerical approximation of blow-up in nonlinear ODEs through standard time stepping schemes. We then derive an a posteriori error estimator for an implicit-explicit (IMEX) dG discretisation of a semilinear parabolic PDE with quadratic nonlinearity. An adaptive algorithm is proposed that uses the error estimator to approach the blow-up time. The adaptive algorithm is then applied in a series of test cases to gauge the effectiveness of the error estimator. Finally, we consider the adaptive numerical approximation of a nonlinear interface problem that is used to model the mass transfer of solutes through semi-permiable membranes. An a posteriori error estimator is proposed for the IMEX dG discretisation of the model and its effectiveness tested through a series of numerical experiments.

研究の動機と目的

• 線形非定常対流拡散問題に対する後退オイラー不連続ガラーキン離散化のための事後誤差推定を構築すること。
• これらの推定を用いて、対流優勢問題における境界層および内部層を効率的に解像する適応的アルゴリズムを設計すること。
• 特に有限時間内に爆発を示す常微分方程式および半線形放物型偏微分方程式を含む非線形問題へのフレームワークの拡張すること。
• 半透膜を通じた溶質移動をモデル化する非線形界面問題のための事後誤差推定を構築・検証すること。
• 適応的アルゴリズムが鋭い層を解像し、最適収束率で爆発時刻に近づくことの有効性を示すこと。

提案手法

• 空間方向にdG離散化、時間方向に後退オイラー時間積分を用いた線形非定常対流拡散方程式に対する後退オイラーdG法の事後誤差推定を導出する。
• 誤差推定を用いて、局所誤差指標に基づき空間的および時間的メッシュを動的に逐次 refinement する適応的アルゴリズムを提案する。
• 剛性を扱うためにIMEX dG離散化を用いた半線形放物型PDEに同じ適応的フレームワークを適用する。
• 爆発問題の文脈において、IMEX dG法のための残差に基づく事後誤差推定を構築し、Gronwall型の議論により誤差評価を導出する。
• 界面層を検出し、活性でない領域で過剰にメッシュを細かくしないように、界面問題のための新規適応的アルゴリズムを導入する。
• 数値実験を用いて、空間的および時間的誤差推定の最適収束率を検証し、爆発時間検出におけるロバスト性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 後退オイラーdG離散化を用いた線形放物型問題に対して、最適収束率を達成する残差に基づく事後誤差推定を導出可能か？
• RQ2 誤差推定を用いて、境界層および内部層を効果的に解像するためのメッシュおよび時間ステップの適応的 refinement はどのように実現可能か？
• RQ3 非線形常微分方程式および半線形偏微分方程式における爆発時刻の検出および近似に、事後誤差推定および適応的アルゴリズムを拡張可能か？
• RQ4 不連続係数を有する非線形界面問題において、誤差推定は鋭い界面層をいかに正確に捉えられるか？
• RQ5 解の活動が低い領域で自由度を最小限に抑えるとともに、最適収束率を達成できるか？

主な発見

• 線形対流拡散問題に対する事後誤差推定は、適応的メッシュ refinement において最適な空間的および時間的収束率を示す。
• 適応的アルゴリズムは境界層および内部層を効果的に解像し、すべてのテストケースで空間的および時間的効果性指数が1に近い。
• 常微分方程式の爆発問題において、誤差推定に基づく適応的アルゴリズムは、数値実験でλの収束率が最適であることが確認され、爆発時刻に収束する。
• 二次非線形性を有する半線形放物型PDEでは、IMEX dGに基づく誤差推定が爆発時刻の正確な近似を可能にし、適応的メッシュが爆発領域付近に集中する。
• 界面問題の誤差推定は界面層を正しく検出し、図6.3で最適な空間的および時間的収束率が観察された。一方、界面の反対側では過剰なメッシュ細分化を回避する。
• 誤差推定の定数はGronwallの不等式によりε⁻¹に依存しており、対流優勢領域ではこの指数的依存を軽減するための分析の改善が求められる。