[論文レビュー] Adaptive sparse grids for time dependent Hamilton-Jacobi-Bellman equations in stochastic control

Xavier Warin|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、確率的制御における時間依存のハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式を解くために、高次補間を用いた半ラグランジュスキームを用いた、適応的スパースグリッド法を提案する。収束性が粘性解に対して保証され、次元2～5において効率的な計算が可能であることが示され、適応的グリッド refinement により誤差を制御し、計算コストを低減することで、決定的手法が中程度の次元において確率的手法を上回ることを示している。

ABSTRACT

We introduce some sparse grids interpolations used in Semi-Lagrangian schemes for linear and fully non-linear diffusion Hamilton Jacobi Bellman equations arising in stochastic control. We prove that the method introduced converges toward the viscosity solution of the problem and we show that some potentially high order schemes can be efficiently implemented. Numerical test in dimension $2$ to $5$ are achieved and show that deterministic methods can be used efficiently in stochastic control in moderate dimension.

研究の動機と目的

• 確率的制御問題におけるハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式を解く際の次元の呪いを克服すること。
• 高次補間を伴っても単調性を保ち、粘性解への収束を保証する決定的数値解法の開発。
• 中程度の次元（2～5）において、完全グリッドを適応的スパースグリッドに置き換えることで計算コストを低減すること。
• 適応的グリッド refinement を用いて振動を制御しながら、補間による高次精度を実現すること。
• 確率的手法が一般的に用いられる問題において、決定的手法の実現可能性を示すこと。

提案手法

• 時間離散化とグリッド外点における補間を用いた半ラグランジュスキームにより、時間依存HJB方程式を解く。
• 階層的基底関数を用いたスパースグリッド補間を適用し、グリッド点の数を O(N^d) から O(N log(N)^{d-1}) に削減する。
• 階層的余剰項の誤差推定子に基づく適応的グリッド refinement を実装し、必要な場所に解像度を集中させる。
• 滑らかでない、または特異な解に対応するため、境界処理を外挿法を用いて行い、特にポートフォリオ最適化のような金融応用に有効である。
• スパースグリッド上に線形、二次、三次補間子を用いて、収束性と精度のトレードオフを評価する。
• 制御の離散化を別個のスパースグリッド上で適応的グリッド refinement と統合し、制御計算を最適化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適応的スパースグリッドは、確率的制御におけるHJB方程式を解く際の次元の呪いを効果的に軽減できるか？
• RQ2 適応的スパースグリッド上での高次補間が、単調性を保ち、粘性解へ収束するか？
• RQ3 次元2～5において、適応的スパースグリッドの計算コストは、完全グリッドおよび確率的手法と比較してどうなるか？
• RQ4 異なる補間子（線形、二次、三次）が精度および収束速度に与える影響は何か？
• RQ5 どのような状況で、適応的グリッド refinement が一様グリッド refinement より顕著に解の精度を向上させるか？

主な発見

• 時間離散化に起因する本質的な単調性のおかげで、高次補間を伴ってもHJB方程式の粘性解への収束が保証される。
• 次元5において、立方補間を用いた適応的スパースグリッドは、精度1.56e-5で6262秒、384コアを用いて解 -0.3095 を達成した。
• CEV-SVモデルを用いた3次元問題では、適応的グリッド refinement により誤差を1.56e-5に低減し、24コアで4541秒で解 -0.4299 を得た。
• 滑らかでない問題において、適応的グリッド refinement は顕著に精度を向上させ、次元3で精度1.56e-5で解が -0.4309 に収束した。
• 完全グリッドと比較して、適応的スパースグリッドの使用により計算コストが低減され、高レベルのグリッド refinement に対しても時間の節約が見られた。
• 5次元までをカバーするポートフォリオ最適化問題において、安定的かつ高精度な結果が得られ、中程度次元の確率的制御問題への決定的手法の実現可能性が示された。