[論文レビュー] Adaptive Sparse Polynomial Chaos Expansions via Leja Interpolation

Dimitrios Loukrezis, Herbert De Gersem|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2019

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 69被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、補間ノードとしてレジャ数列を用いることで、適応的で直接的な方法により、補間型多項式 chaotic 展開（PCE）を構築する新規な手法を提案する。レジャに基づくニュートン多項式の特徴的な次数構造と、直交多項式への一対一対応を活用することで、1つのコロケーション点ごとに1つのPCE項を用いた正確な補間を実現し、最小限のモデル評価で高い精度のサーモンモデル構築と不確実性定量化を可能にする。

ABSTRACT

This work suggests an interpolation-based stochastic collocation method for the non-intrusive and adaptive construction of sparse polynomial chaos expansions (PCEs). Unlike pseudo-spectral projection and regression-based stochastic collocation methods, the proposed approach results in PCEs featuring one polynomial term per collocation point. Moreover, the resulting PCEs are interpolating, i.e., they are exact on the interpolation nodes/collocation points. Once available, an interpolating PCE can be used as an inexpensive surrogate model, or be post-processed for the purposes of uncertainty quantification and sensitivity analysis. The main idea is conceptually simple and relies on the use of Leja sequence points as interpolation nodes. Using Newton-like, hierarchical basis polynomials defined upon Leja sequences, a sparse-grid interpolation can be derived, the basis polynomials of which are unique in terms of their multivariate degrees. A dimension-adaptive scheme can be employed for the construction of an anisotropic interpolation. Due to the degree uniqueness, a one-to-one transform to orthogonal polynomials of the exact same degrees is possible and shall result in an interpolating PCE. However, since each Leja node defines a unique Newton basis polynomial, an implicit one-to-one map between Leja nodes and orthogonal basis polynomials exists as well. Therefore, the in-between steps of hierarchical interpolation and basis transform can be discarded altogether, and the interpolating PCE can be computed directly. For directly computed, adaptive, anisotropic interpolating PCEs, the dimension-adaptive algorithm is modified accordingly. A series of numerical experiments verify the suggested approach in both low and moderately high-dimensional settings, as well as for various input distributions.

研究の動機と目的

• 最小限のモデル評価で、非侵襲的かつ適応的なスパース多項式 chaotic 展開（PCE）を構築する手法の開発を目的とする。
• 従来の補間ベースのPCE手法における数値的不安定性と非効率性を克服するため、補間ノードとしてレジャ数列を用いる。
• 中間の階層的補間や基底変換ステップを経由せずに、直接的に補間型PCEを計算可能とする。
• 最小限の計算コストで、サーモンモデル構築、不確実性定量化（UQ）、感度分析（SA）において高い精度を確保することを目的とする。
• 1回のモデル評価あたりの近似精度という観点から、擬似スペクトル射影（PSP）および最小二乗回帰（LSR）と比較して、提案手法の優位性を示すこと。

提案手法

• 1変数補間グリッドとしてレジャ数列を用いることで、多変数補間における数値的安定性と階層的構造を保証する。
• レジャ数列に基づくニュートンに類似した基底多項式を用いて、階層的かつ適応的な補間を構築し、各基底関数に対して一意な多変数次数を保証する。
• レジャノードのインデックスと直交多項式の次数の間に一対一対応を確立することで、中間の基底変換を経由せずに補間型PCEを直接計算可能にする。
• 次元適応アルゴリズムを用いて、影響力のあるパラメータに注力する非等方的補間型PCEを構築する。
• レジャノードから直交多項式への直接的で暗黙的な写像を用いることで、明示的なラグランジュ基底から直交基底への変換の必要性を回避する。
• 得られた補間型PCEを不確実性定量化および感度分析のためのサーモンモデルとして用い、モーメントおよびソボルインデックスのための後処理を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レジャ数列は、1つのコロケーション点ごとに1つのPCE項を有する安定的で適応的かつスパースな補間ベースPCE構築を可能にするか？
• RQ2 基底変換を経由する間接的手法と比較して、レジャノードを用いた補間型PCEの直接的計算は、精度と効率性の観点で優れているか？
• RQ3 提案手法による適応的補間型PCEの性能は、PSPやLSRといった既存手法と比較して、1回のモデル評価あたりの近似精度という観点でどのように異なるか？
• RQ4 低次元および中程度の高次元問題において、同手法がモーメントおよび感度インデックス推定の精度をどの程度維持できるか？
• RQ5 提案手法は、高次元不確実性定量化における収束性を向上させるために、適応的リファインメント戦略と効果的に組み合わせ可能か？

主な発見

• 提案手法では1つのコロケーション点ごとに1つの多項式項を有するため、補間ノードにおいて正確な補間型PCEが実現される。
• レジャノードを用いた補間型PCEの直接的計算は、間接的な基底変換アプローチと同等の精度でモーメントおよび感度インデックス推定を達成する。
• 直接的手法により構築された適応的補間型PCEは、適応的で階層的なニュートンベース補間と同等の収束特性を示す。
• 同じ数のモデル評価を要する条件下で、補間型PCEは、擬似スペクトル射影（PSP）および最小二乗回帰（LSR）の両手法を近似精度という観点で上回る。
• 低次元および中程度の高次元テストケースにおいて、さまざまな入力分布と問題次元において、同手法は高い精度を維持することが確認された。
• LARベース手法を用いて高次非等方的PCEを構築した基準ソボルインデックスは、信頼性の高いベンチマークとして機能し、提案手法の正確性を裏付けた。