[論文レビュー] Adding successor: A transfer theorem for separation and covering

Thomas Place, Marc Zeitoun|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2017

semigroups and automata theory参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、第一階論理に後続関係 (+1) を追加した場合の分離問題と被覆問題を、元の論理における同様の問題に還元する転送定理を提示する。閉包性質と語構造上の同型写像を活用することで、クラス 𝒞 in について分離および被覆の決定可能性が保証されるならば、SU を追加した 𝒞∘SU に対しても同様の決定可能性が保証されることを示している。SU は後続、最小、最大、空語の述語を追加する。主な結果は、有限語および無限語の両方に適用可能な汎用的な還元手法である。

ABSTRACT

Given a class C of word languages, the C-separation problem asks for an algorithm that, given as input two regular languages, decides whether there exists a third language in C containing the first language, while being disjoint from the second. Separation is usually investigated as a means to obtain a deep understanding of the class C. In the paper, we are mainly interested in classes defined by logical formalisms. Such classes are often built on top of each other: given some logic, one builds a stronger one by adding new predicates to its signature. A natural construction is to enrich a logic with the successor relation. In this paper, we present a transfer result applying to this construction: we show that for suitable logically defined classes, separation for the logic enriched with the successor relation reduces to separation for the original logic. Our theorem also applies to a problem that is stronger than separation: covering. Moreover, we actually present two reductions: one for languages of finite words and the other for languages of infinite words.

研究の動機と目的

• 論理 𝒞 における分離および被覆問題の決定可能性を、その後続関係拡張版 𝒞∘SU に伝える汎用的な還元手法を開発すること。
• 標準的な属する性質の手法が、複雑な論理的断片を理解するのには不十分であるという課題に対処するため、分離および被覆といったより強い問題に焦点を当てる。
• FO²(<)、Σₙ(<)、ℬΣₙ(<) などの既知の決定可能性結果を、FO²(<,+1) や Σₙ(<,+1) などの後続関係拡張版に拡張すること。
• 有限語および無限語の両方に適用可能な一様な枠組みを提供すること。代数的および論理的道具（同型写像、同値関係など）を用いる。
• 分離および被覆が、Σ₁(<,+1)、ℬΣ₁(<,+1)、Σ₂(<,+1)、ℬΣ₂(<,+1)、Σ₃(<,+1) などの新たな論理的断片に対しても決定可能であることを示すこと。これらの断片については、従来の結果が不明あるいは複雑な組合せ的証明に依存していた。

提案手法

• 本稿では、言語クラス 𝒞 を、後続関係 (+1)、最小、最大、空語の述語を追加することで拡張する SU 拡張と呼ばれる構成を導入する。
• 自由モノイド A*（または A^ω）から、位置の後続情報を符号化する構造 𝔸_α への同型写像 η を定義し、語構造の持ち上げを可能にする。
• 後続記号に伴う標準的同値 ∼₂ₖ を用いて、A* を ∼₂ₖ-類に分割する P を構成し、商構造を定義する。
• 証明は、β: (P×A)* → 𝔸_α* という同型写像の持ち上げ β(τ_P(w)) = η(w) を用い、構造間での言語の転送を可能にする。
• K ∈ 𝒞(𝔸_α) ならば η⁻¹(K) ∈ (𝒞∘SU₂ₖ)(A) であることを、逆像に関する閉包性質と持ち上げ性質を用いて確立する。
• 還元は、有限語および無限語の両方について別々に適用され、無限語の場合には右端がないことにより同型写像の構成が簡略化される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 後続関係を含む論理における分離および被覆問題は、元の論理における同様の問題に還元可能か？
• RQ2 論理的断片に後続、最小、最大、ε 述語を追加しても、元の論理が分離および被覆に関して決定可能である場合、その性質が保たれるか？
• RQ3 有限語および無限語の両方に適用可能な一様で汎用的な方法で、クラス 𝒞 からその SU 拡張 𝒞∘SU への決定可能性結果を伝えることは可能か？
• RQ4 この転送定理は、FO²(<)、Σₙ(<)、ℬΣₙ(<) といった第一階論理の代表的断片に適用可能であり、新たな決定可能性結果を得られるか？
• RQ5 特に閉包性質および同型写像の持ち上げに関して、このような転送が可能となる論理的および代数的条件は何か？

主な発見

• 本稿では、FO²(<,+1) における分離および被覆の決定可能性が確立され、これは従来未知であり、標準的な属する性質の手法では到達できない結果である。
• Σ₁(<,+1)、ℬΣ₁(<,+1)、Σ₂(<,+1)、ℬΣ₂(<,+1)、Σ₃(<,+1) のレベルについても決定可能性が証明され、既知の結果が拡張され、複雑な組合せ的証明が簡略化された。
• 転送定理により、クラス 𝒞 が適切な閉包性質を満たせば、SU 拡張された分離および被覆問題が、元の論理の問題に還元可能である。
• この手法は、有限語および無限語の両方に対して一様に適用可能であり、無限語の場合には右境界がないことにより同型写像の構成が簡素化される。
• 還元は有効的である：𝒞 in における分離または被覆の決定手続きが与えられれば、𝒞∘SU における決定手続きを構成可能であり、既知の結果の体系的拡張が可能になる。
• この枠組みは、論理的断片の表現力の分析に新たな一般的手法を提供し、属する性質からより情報量の多い分離および被覆問題への焦点のシフトを実現する。