[論文レビュー] Additive derivations on algebras of measurable operators

Shavkat Ayupov, Karimbergen Kudaybergenov|ArXiv.org|Aug 9, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、von Neumann代数 $M$ の中心拡大 $ {mix}(M)$ を導入し、$M$ が適切に無限大であるとき、$ {mix}(M)$ 上のすべての加法的導分は内導分であることを証明する。この結果により、型 I$_\infty$ または型 III の von Neumann代数に対して、代数 $ {LS}(M)$ 上のすべての加法的導分が内導分であることが示され、非可換測度論における内導分に関する既存の結果が一般化される。

ABSTRACT

Given a von Neumann algebra $M$ we introduce so called central extension $mix(M)$ of $M$. We show that $mix(M)$ is a *-subalgebra in the algebra $LS(M)$ of all locally measurable operators with respect to $M,$ and this algebra coincides with $LS(M)$ if and only if $M $ does not admit type II direct summands. We prove that if $M$ is a properly infinite von Neumann algebra then every additive derivation on the algebra $mix(M)$ is inner. This implies that on the algebra $LS(M)$, where $M$ is a type I$_\infty$ or a type III von Neumann algebra, all additive derivations are inner derivations.

研究の動機と目的

• von Neumann代数に付随する可測作用素の代数上の加法的導分の構造を調査すること。
• 可換な設定で主に非内導分が生じるという予想を、非可換な場合の研究を通じて検証すること。
• 中心拡大 $\r{mix}(M)$ を導入し、特に型 II の直和成分が存在しない場合に、$\r{LS}(M)$ の $*$-部分代数としての性質を分析すること。
• $M$ が適切に無限大であるとき、$ {mix}(M)$ 上のすべての加法的導分が内導分であることを証明し、既知の内導分に関する結果を拡張すること。

提案手法

• $M$ の中心拡大として $\r{mix}(M)$ を導入し、$S(Z(M)) \cong L^0(\Omega, \Sigma, \mu)$ 上の $C^*$-代数であることを示す。
• $\r{mix}(M) = \r{LS}(M)$ が成り立つための必要十分条件は、$M$ が型 II の直和成分を含まないことであることを確立する。
• $\r{LS}(M)$ 上の局所測度収束位相を用いて導分の挙動を分析する。
• 測度位相とスペクトル射影の性質を活用し、$ {mix}(M)$ 上の加法的導分が $S(Z(M))$-線形であることを証明する。
• Sakaiの定理を適用して、すべての $x \in \r{mix}(M)$ に対して $D(x) = ax - xa$ を満たす $a \in \r{mix}(M)$ を構成し、内導分性を証明する。
• 直交する中心射影の列 $\{z_n\}$ による分解 $\bigvee z_n = \mathbf{1}$ を用いて導分を局所化し、各 $z_nM$ 上で内導分構造を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所可測作用素の代数 $\r{LS}(M)$ 上のすべての加法的導分が内導分であるための条件は何か？
• RQ2 中心拡大 $\r{mix}(M)$ と $\r{LS}(M)$ の関係は何か？ 両者が等しくなるのはいつか？
• RQ3 適切に無限大の von Neumann代数に対して、$ {mix}(M)$ 上の加法的導分が内導分であることは示せるか？
• RQ4 非可換な設定における導分に関する結果は、$L^0(0,1)$ のような可換代数に対する既存の結果をどの程度一般化できるか？
• RQ5 $ {mix}(M)$ 上の導分が $S(Z(M))$-線形であることは、適切に無限大の場合の内導分性を保証するのに十分か？

主な発見

• 中心拡大 $\r{mix}(M)$ は $\r{LS}(M)$ の $*$-部分代数であり、$M$ が型 II の直和成分を含まないときかつそのときに限り $\r{mix}(M) = \r{LS}(M)$ である。
• すべての加法的導分は $S(Z(M))$-線形である。これは内導分性を示すための重要なステップである。
• 適切に無限大の von Neumann代数に対して、$ {mix}(M)$ 上のすべての加法的導分は内導分である。つまり、$ {mix}(M)$ の元によって実装される。
• この結果により、$M$ が型 I$_\infty$ または型 III であるとき、$ {LS}(M)$ 上のすべての加法的導分が内導分であることが示される。
• 導分の局所化を可能にするために、$M$ を直交する中心射影の列 $\{z_n\}$ による直和 $\bigvee z_n = \mathbf{1}$ に分解する。
• 各 $z_nM$ 上で Sakai の定理を適用し、すべての $x \in \r{mix}(M)$ に対して $D(x) = ax - xa$ を満たす $a \in \r{mix}(M)$ を構成することで、内導分性が確認される。