[論文レビュー] Additively irreducible sequences in commutative semigroups

Guoqing Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2015

semigroups and automata theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は可換半群における加法的不可約列を定義し、分析する。$Δ}_a(Σ)$ を、与えられた元 $a$ に和が一致するような不可約列の最大長として定義する。$a$ から出発する主イデアルに関する上昇鎖条件が成り立つ場合、$Δ}_a(Σ)$ が有限であるための必要十分条件を確立し、鋭い上限・下限を導出し、特に主イデアル環である有限可換単位的環への応用を示す。

ABSTRACT

Let $\mathcal{S}$ be a commutative semigroup, and let $T$ be a sequence of terms from the semigroup $\mathcal{S}$. We call $T$ an (additively) {\sl irreducible} sequence provided that no sum of its some terms vanishes. Given any element $a$ of $\mathcal{S}$, let ${ m D}_a(\mathcal{S})$ be the largest length of the irreducible sequence such that the sum of all terms from the sequence is equal to $a$. In case that any ascending chain of principal ideals starting from the ideal $(a)$ terminates in $\mathcal{S}$, we found the sufficient and necessary conditions of ${ m D}_a(\mathcal{S})$ being finite, and in particular, we gave sharp lower and upper bounds of ${ m D}_a(\mathcal{S})$ in case ${ m D}_a(\mathcal{S})$ is finite. We also applied the result to commutative unitary rings. As a special case, the value of ${ m D}_a(\mathcal{S})$ was determined when $\mathcal{S}$ is the multiplicative semigroup of any finite commutative principal ideal unitary ring.

研究の動機と目的

• 可換半群における加法的不可約列を定義・特徴づける。ここで、部分列の和が元の列の和に一致するような真の部分列が存在しないこと。
• 固定された元 $a$ に対して、和が $a$ に一致する不可約列の最大長 $Δ}_a(Σ)$ の有限性を調査する。
• 元 $a$ から出発する主イデアルに関する上昇鎖条件が成り立つ下で、$Δ}_a(Σ)$ が有限であるための必要十分条件を確立する。
• $Δ}_a(Σ)$ が有限である場合の鋭い上界・下界を導出する。
• 結果を有限可換単位的環に応用し、特に有限可換主イデアル環の乗法的半群における $Δ}_a(Σ)$ を特定する。

提案手法

• 可換半群 $Σ$ において、$σ(T) = a$ を満たす不可約列 $T$ の最大長として $Δ}_a(Σ)$ を定義する。
• 元 $a$ の周囲の半群構造に関連する群 $Γ(H_a)$ を導入し、シューツェンベルガー群の構成を用いて不可約性を分析する。
• 元 $a$ に関連するイデアル $Τ$ の生成数の最小値 $ψ(a)$ を用いて、$Δ}_a(Σ)$ を評価する。
• $Γ(H_a)$ 内のゼロ和自由列と $a$ の最小生成列を組み合わせることで、明示的な不可約列を構成し、部分列の和が $σ(T)$ に一致しないことを保証する。
• ネーター的半群および主イデアル環の構造論を用いて、有限性と境界を導出する。
• 有限アーベル群におけるダベンポート定数 $Δ(G)$ と $Δ}_a(Σ)$ の双対性を用い、結果を環へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換半群 $Σ$ の与えられた元 $a$ に対して、$Δ}_a(Σ)$ が有限であるための条件は何か？
• RQ2 $Δ}_a(Σ)$ が有限である場合、その鋭い上界・下限は何か？
• RQ3 $Δ}_a(Σ)$ の有限性は、特にシューツェンベルガー群 $H_a$ の有限性とどのように関係するか？
• RQ4 有限可換主イデアル単位的環 $R$ の乗法的半群において、$Δ}_a(Σ_R)$ の値を明示的に計算できるか？
• RQ5 有限アーベル群におけるダベンポート定数 $Δ(G)$ と $Δ}_a(Σ)$ の関係は何か？

主な発見

• すべての主イデアルの上昇鎖が $a$ から始まって終了するという仮定の下で、$Δ}_a(Σ)$ が有限であることと、シューツェンベルガー群 $H_a$ が有限であることは同値である。
• $Δ}_a(Σ)$ が有限であるとき、鋭い境界 $\mathrm{D}^*(\Gamma(H_a)) - 1 + \Psi(a) \leq \mathrm{D}_a(\mathcal{S}) \leq \mathrm{D}^*(\Gamma(H_a)) - 1 + \Psi(a)$ を満たす。ここで $Δ}^*(G)$ は群 $G$ のダベンポート定数を表す。
• 有限可換主イデアル単位的環 $R$ の乗法的半群 $Σ_R$ に対して、$Δ}_a(Σ_R)$ の値は完全に決定されており、$Δ}^*(\Gamma(H_a)) - 1 + \Psi(a)$ に等しい。
• 反例により、$ψ(a)$ が無限大であっても $Δ}_a(Σ) \leq n$ となる例が示され、$ψ(a)$ が有限でなくても $Δ}_a(Σ)$ が有限であることが可能であることが示された。
• 任意の可換半群 $Σ$ において、$Δ}(Σ)$ が有限であることと $δ}(Σ)$ が有限であることは同値であり、このとき $Δ}(Σ) = δ}(Σ) + 1$ が成り立つ。
• 可換ネーター的半群 $Σ$ に対して、$Δ}(Σ)$ が有限であることと、すべての $a \in Σ$ に対して $H_a$ のサイズが一様に有界であることは同値である。