[論文レビュー] Structure of the largest idempotent-product free sequences in semigroups

Guoqing Wang|arXiv (Cornell University)|May 24, 2014

semigroups and automata theory参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、非イデムポテン成分の集合が有限である半群における、最も長いイデムポテン積自由列の構造を特徴づける。1972年のGillam, Hall, Williamsの結果を拡張し、長さ $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$ の強いついでも積自由列の正確な形を特定するとともに、半群理論におけるダベンポート定数とエルデシュ＝バーガー定数を一般化する新しい構造定数を導入する。

ABSTRACT

Let $\mathcal{S}$ be a finite semigroup, and let $E(\mathcal{S})$ be the set of all idempotents of $\mathcal{S}$. Gillam, Hall and Williams proved in 1972 that every $\mathcal{S}$-valued sequence $T$ of length at least $|\mathcal{S}|-|E(\mathcal{S})|+1$ is not (strongly) idempotent-product free, in the sense that it contains a nonempty subsequence the product of whose terms, in their natural order in $T$, is an idempotent, which affirmed a question of Erdős. They also showed that the value $|\mathcal{S}|-|E(\mathcal{S})|+1$ is best possible. Here, motivated by Gillam, Hall and Williams' work, we determine the structure of the idempotent-product free sequences of length $|\mathcal{S}\setminus E(\mathcal{S})|$ when the semigroup $\mathcal{S}$ (not necessarily finite) satisfies $|\mathcal{S}\setminus E(\mathcal{S})|$ is finite, and we introduce a couple of structural constants for semigroups that reduce to the classical Davenport constant in the case of finite abelian groups.

研究の動機と目的

• 非イデムポテン成分の集合が有限である半群 $\mathcal{S}$ において、長さ $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$ の強いついでも積自由列の構造を特定すること。
• 古典的なダベンポート定数とエルデシュ＝バーガー定数を一般化する半群のための新しい構造定数を導入し、それらを分析すること。
• Gillam, Hall, Williamsの逆問題に取り組み、$\textsc{SI}(\mathcal{S}) = |\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})| + 1$ が成り立つための条件を同定すること。
• 可換半群におけるエルデシュ＝バーガー定数 $\textsc{I}(\mathcal{S})$ とダベンポート定数 $\mathsf{D}(\mathcal{S})$ の関係を調査すること。
• 半群 $\mathcal{S}$ に対して $\textsc{I}(\mathcal{S})$ と $\textsc{SI}(\mathcal{S})$ が有限であるための必要十分条件、およびそれらが等しくなるための条件を同定すること。

提案手法

• ゼロ和理論と半群における列の積の枠組みを用い、列を自由モノイド $\mathcal{F}(\mathcal{S})$ の要素として定義する。
• 弱いついでも積自由列と強いついでも積自由列の概念を導入し、任意の順序または自然な順序での部分列の積がイデムポテンとなることがないことを定義する。
• Gillam, Hall, Williamsの議論の一般化を適用し、長さ $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})| + 1$ の任意の列は強いついでも積自由にはなり得ないことを示す。
• 列の重複度と積構造を $\lambda_T(x) = |\prod(T \cdot x) \setminus \prod(T)|$ を用いて分析し、積集合の変化を追跡する。
• イデムポテン積を生成しない最大長 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$ の列に課される構造的制約を確立する。
• 例を提示・分析し、$\textsc{I}(\mathcal{S})$ と $\textsc{SI}(\mathcal{S})$ を区別するとともに、$\textsc{I}(\mathcal{S})$ の有限性が $\textsc{SI}(\mathcal{S})$ の有限性を意味しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非イデムポテン成分の集合が有限である半群 $\mathcal{S}$ において、長さ $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$ の強いついでも積自由 $\mathcal{S}$-値列の構造は何か？
• RQ2 どのような条件下で $\textsc{SI}(\mathcal{S}) = |\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})| + 1$ が成り立つか？
• RQ3 可換半群において、エルデシュ＝バーガー定数 $\textsc{I}(\mathcal{S})$ とダベンポート定数 $\mathsf{D}(\mathcal{S})$ の関係は何か？
• RQ4 $\textsc{I}(\mathcal{S})$ と $\textsc{SI}(\mathcal{S})$ が有限であるための十分かつ必要条件は何か？
• RQ5 $\textsc{I}(\mathcal{S}) = \textsc{SI}(\mathcal{S})$ が成り立つのはいつか？ そのような半群の構造的性質は何か？

主な発見

• 非イデムポテン成分の集合が有限である半群 $\mathcal{S}$ における強いついでも積自由列の最大長は、ちょうど $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$ に等しい。
• 本論文は、このような最大長の列の構造を完全に特徴づけ、それらが特定の積制約を満たす非イデムポテン成分からなる必要があることを示している。
• 可換半群において、エルデシュ＝バーガー定数 $\textsc{I}(\mathcal{S})$ とダベンポート定数 $\mathsf{D}(\mathcal{S})$ は異なる値を取り得る。$\textsc{I}(\mathcal{S}) < \mathsf{D}(\mathcal{S})$ および $\textsc{I}(\mathcal{S}) > \mathsf{D}(\mathcal{S})$ の両方が可能である。
• ある種の半群では $\textsc{I}(\mathcal{S})$ は有限だが $\textsc{SI}(\mathcal{S})$ は無限大であり、このことは二つの定数が同値でないことを示している。
• 強いついでも積自由列が存在しないための境界 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})| + 1$ は最適であり、結果の鋭さが確認されている。
• 本論文は、ダベンポート定数を一般化する構造定数を導入し、非群的半群におけるゼロ和問題とイデムポテン積問題を研究するための枠組みを提供する。