[論文レビュー] Adequate moduli spaces and geometrically reductive group schemes

Jarod Alper|arXiv (Cornell University)|May 13, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、幾何的不変理論（GIT）を正標数および混合標数に一般化するため、適切なモジュライ空間の概念を導入する。これは、良いモジュライ空間の理論を拡張するものであり、任意の基底上での幾何的に再帰的である群スキーム（特に再帰的群スキーム）が、重要な有限性および降下性の性質を満たすことを証明する。これにより、標数pにおける射影的モジュライ空間の内挿的構成が可能になる。

ABSTRACT

We develop the theory of adequate moduli spaces in characteristic $p$ (and mixed characteristic) characterizing quotients by geometrically reductive group schemes.

研究の動機と目的

• 良いモジュライ空間の理論を正標数および混合標数に一般化する適切なモジュライ空間の理論を構築すること。
• 再帰的安定化をもつ代数的スタックに対して、適切なモジュライ空間の基礎的性質（有限性および一意性など）を確立すること。
• SeshadriおよびWaterhouseによる幾何的に再帰的群に関する結果を、任意の基底へ一般化すること。
• デデキンド環およびDVR上での群スキームの幾何的再帰性の内挿的基準を提供すること。
• 適切なモジュライ空間理論を用いて、正標数における射影的モジュライ空間の内挿的構成を可能にすること。

提案手法

• 2つの公理に基づいて適切なモジュライ空間を定義する：(1) 有限乗数の後でのセクションの持ち上げ、(2) スタックからモジュライ空間への全セクションの同型。
• 正標数における再帰的群作用に対して、商スタック $[X^{ss}/G] \to X^{ss}//G$ が適切なモジュライ空間であることを証明する。
• 解消性およびDVR上での単連結単純代数群の表現論を用いて、幾何的再帰性を検証する。
• 双対モジュールの対称冪における不変セクションの存在と幾何的再帰性の同値性を応用する。
• 中立成分 $G^\circ$ と商 $G/G^\circ$ の構造を活用し、問題を既知の状況に還元する。
• アフィン性のSerreの基準を適用し、主同次空間がアフィンであれば、その商もアフィンであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 良いモジュライ空間の理論は、GITを越えるより一般的な概念を用いて、正標数および混合標数に拡張可能か？
• RQ2 デデキンド環またはDVR上での群スキームが幾何的に再帰的であるための条件は何か？
• RQ3 モジュライ空間の適切性と、それらを作用させる群の幾何的再帰性との関係は何か？
• RQ4 幾何的に再帰的群スキームによる主同次空間の商がアフィンであるための条件は何か？
• RQ5 適切なモジュライ空間理論を用いて、正標数において射影的モジュライ空間を内挿的に構成できるか？

主な発見

• 再帰的群 $G$ が射影的スキームに線形化を伴って作用するとき、写像 $[X^{ss}/G] \to X^{ss}//G$ は適切なモジュライ空間である。
• 適切なモジュライ空間は、正標数においてもGIT商と同様に有限性および一意性の性質を満たす。
• デデキンド環上での幾何的に再帰的群スキームとは、その中立成分が再帰的で、成分群が有限であるものに限る。
• 滑らかでアフィンな群スキーム $G \to S$ に対して、$G$ が幾何的に再帰的であることと、$G^\circ \to S$ が再帰的ファイバーを持ち、$G/G^\circ \to S$ が有限であることは同値である。
• $X \to Y$ が $X$ が $S$ 上でアフィンである主 $G$-バンドルであれば、$G \to S$ が幾何的に再帰的である限り、$Y$ も $S$ 上でアフィンである。
• 適切なモジュライ空間の理論は、正標数において射影的モジュライ空間を内挿的に構成するための枠組みを提供する。