[論文レビュー] Adiabatic Quantum Computation is Equivalent to Standard Quantum Computation

Dorit Aharonov, Wim van Dam+4 more|ArXiv.org|May 18, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 44被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、断熱的量子計算が標準的な回路モデルの量子計算と多項式的に同等であることを証明しており、任意の量子アルゴリズムが断熱的プロセスを介して効率的にシミュレート可能であることを示している。主な貢献は、任意の量子回路から局所的ハミルトニアン経路への構成的写像であり、スペクトルギャップが逆多項式的であることを特徴としており、2つのモデル間の完全な計算的同等性を確立している。

ABSTRACT

Adiabatic quantum computation has recently attracted attention in the physics and computer science communities, but its computational power was unknown. We describe an efficient adiabatic simulation of any given quantum algorithm, which implies that the adiabatic computation model and the conventional quantum computation model are polynomially equivalent. Our result can be extended to the physically realistic setting of particles arranged on a two-dimensional grid with nearest neighbor interactions. The equivalence between the models provides a new vantage point from which to tackle the central issues in quantum computation, namely designing new quantum algorithms and constructing fault tolerant quantum computers. In particular, by translating the main open questions in the area of quantum algorithms to the language of spectral gaps of sparse matrices, the result makes these questions accessible to a wider scientific audience, acquainted with mathematical physics, expander theory and rapidly mixing Markov chains.

研究の動機と目的

• 断熱的量子計算が標準的量子計算の全計算的パワーを達成できるかどうかという未解決の問題を解明すること。
• 断熱モデルと回路モデルの間の形式的同等性を確立すること。
• 物理的に妥当な局所的ハミルトニアンを用いた、任意の量子回路の効率的かつ物理的根拠のあるシミュレーションを提供すること。
• 2次元格子上のキュービットと近接スピン相互作用を有する物理的に現実的な設定へと同等性を拡張すること。
• 量子アルゴリズム設計やフォールトトレランスに関する未解決問題を、スパース行列のスペクトルギャップ問題に翻訳し、数学的物理学者らの分野がアクセス可能にする。

提案手法

• クロックキュービットと計算キュービットを用いて、量子回路の時間発展演算を符号化するヒストリーステートハミルトニアンを構築する。
• ハミルトニアン空間における直線的経路に沿って、時間に依存するハミルトニアン H(s) = (1−s)H_init + sH_final を定義する。
• 最終ハミルトニアン H_final が量子回路の出力を符号化した基底状態を持つように保証する。
• 測定に基づく状態読み出しを可能にするために、終端に恒等ゲートを追加した変更版の量子回路を用いる。
• 時間発展演算中のハミルトニアンのスペクトルギャップが、全過程で Ω(L⁻³) のまま保たれることを証明し、断熱性を保証する。
• スペクトルギャップ解析と摂動論を適用し、基底状態が初期状態から所望のヒストリーステートへと高精度で変化することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 断熱的量子計算は、任意の量子アルゴリズムを多項式時間でシミュレートできるか？
• RQ2 断熱モデルは標準的量子回路モデルと計算的に同等か？
• RQ3 近接スピン相互作用を有する2次元格子上での物理的現実的な系へと同等性を拡張できるか？
• RQ4 断熱的量子計算の計算的パワーは、スパースハミルトニアンのスペクトルギャップ特性によって完全に特徴付けられるか？
• RQ5 量子アルゴリズム設計分野の未解決問題は、数学的物理におけるスペクトルギャップ問題に再定式化可能か？

主な発見

• 断熱的量子計算は、標準的量子回路モデルと多項式的に同等であり、任意の量子アルゴリズムが断熱的発展演算を介して効率的にシミュレート可能である。
• 断熱的ハミルトニアン経路のスペクトルギャップは、全発展演算中に Ω(L⁻³) のまま保たれ、多項式時間の断熱的発展演算を保証する。
• 最終ハミルトニアンの基底状態は、量子回路のヒストリーステートに ε-近傍に位置し、測定による正しい出力読み出しが可能である。
• 局所的ハミルトニアンを2次元格子上に制限し、近接スピン相互作用を有する場合でも同等性が成立する。
• この構成により、量子アルゴリズム設計をスペクトルギャップ解析に翻訳でき、量子計算と数学的物理の橋渡しを可能にする。
• この手法により、任意のユニタリゲートや測定結果を持つ量子回路の効率的断熱的シミュレーションが可能になる。