[論文レビュー] Adiabatic Quantum Computing for Binary Clustering

Christian Bauckhage, Eduardo Barreto Brito+4 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、k-means目的関数をD-Wave型量子プロセッサに適したイジング模型に再定式化することにより、二値クラスタリングにための断熱的量子計算手法を提案する。QuTiPを用いた数値シミュレーションにより、キュービット系が断熱的にクラスタ解へと進化することを示し、非教師あり学習における断熱的量子最適化の可能性を裏付けた。

ABSTRACT

Quantum computing for machine learning attracts increasing attention and recent technological developments suggest that especially adiabatic quantum computing may soon be of practical interest. In this paper, we therefore consider this paradigm and discuss how to adopt it to the problem of binary clustering. Numerical simulations demonstrate the feasibility of our approach and illustrate how systems of qubits adiabatically evolve towards a solution.

研究の動機と目的

• 断熱的量子計算を非教師あり学習タスクに適応させることにより、量子計算と機械学習を橋渡しすること。
• 現在の断熱的量子ハードウェアに適合するイジング模型に、古典的クラスタリング目的関数をマッピングする課題に取り組むこと。
• k-meansを用いた二値クラスタリングが、クラスタ間分散の最大化として同等に定式化できることを示し、イジング模型の定式化を可能にすること。
• QuTiPを用いた断熱的時間発展演算の数値シミュレーションを通じて、量子アプローチを検証し、量子状態ダイナミクスの洞察を提供すること。

提案手法

• k=2のk-meansクラスタリング目的関数を、クラスタ内分散の最小化と数学的に同等であるクラスタ間分散 $ S_B = 2n_1n_2\|\bm{\mu}_1 - \bm{\mu}_2\|^2 $ の最大化に再定式化する。
• $ S_B $ の最大化を、変数が二値である二次無制約バイナリ最適化（QUBO）問題として表現し、これは直ちにイジングハミルトニアンにマッピング可能である。
• スピン状態がクラスタ割り当てを表すキュービットレジスタを構築する（例：+1をクラスタ1、-1をクラスタ2に割り当てる）。データポイントの割り当てを、系のエネルギー状態に埋め込む。
• 初期ハミルトニアンが単純な形である時間に依存するハミルトニアンを定義し、最終的にクラスタリング問題に対応するイジングハミルトニアンへと断熱的に変化させる。
• QuTiPを用いて断熱的時間発展演算をシミュレートし、量子状態の振幅の時間発展を追跡して、基底状態への収束を観察する。
• 基底状態の確率のダイナミクスを可視化し、最適なクラスタリング構成へと系がどのように進化するかを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k=2のk-meansクラスタリング問題を、断熱的量子計算に適したイジング模型に再定式化できるか？
• RQ2 キュービットレジスタの断熱的時間発展演算は、有効な二値クラスタリング解に対応する量子状態へ収束するか？
• RQ3 断熱的時間発展演算中に、量子基底状態の振幅はどのように変化するか？また、それらはクラスタリングプロセスにどのような洞察を提供するか？
• RQ4 現在の断熱的量子ハードウェア（例：D-Wave）を用いて、イジング模型の符号化により二値クラスタリング問題を解くことは可能か？
• RQ5 クラスタ内分散の最小化とクラスタ間分散の最大化の間の双対性を活用することで、クラスタリングの量子最適化を可能にするか？

主な発見

• k=2のk-meansクラスタリングにおけるクラスタ内分散の最小化問題は、数学的にクラスタ間分散 $ S_B $ の最大化問題に同等に定式化でき、量子計算に適合する再定式化が可能である。
• k=2におけるクラスタ間分散 $ S_B $ は $ 2n_1n_2\|\bm{\mu}_1 - \bm{\mu}_2\|^2 $ に簡略化され、QUBOおよびイジング模型符号化に適した二次形式として表現可能である。
• QuTiPを用いた数値シミュレーションにより、キュービット系の断熱的時間発展演算が、最適なクラスタリング構成に対応する基底状態へ収束することが確認された。
• シミュレーション結果から、基底状態の振幅が正しいクラスタ割り当ての出現を強調するように変化することが示され、量子アプローチの妥当性が裏付けられた。
• 固定されたデータセットに対して総分散 $ S_T $ は一定であり、$ S_T = S_W + \frac{1}{2n}S_B $ が成り立つことから、$ S_W $ の最小化は $ S_B $ の最大化に同等であることが確認され、目的関数の双対性が裏付けられた。
• 本手法により、古典的最適化問題を現在の量子アニーリングハードウェアに適合する形に変換することで、非教師あり学習に断熱的量子計算を適用可能である。