[論文レビュー] Quantum algorithms for supervised and unsupervised machine learning

Seth Lloyd, Masoud Mohseni+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用数 563

ひとこと要約

この論文は、量子ランダムアクセスメモリ（qRAM）と量子線形代数技術を活用することで、古典的手法よりも指数的高速化を達成する教師ありおよび教師なし機械学習のための量子アルゴリズムを提案する。クラスタ割り当てとk-meansクラスタリングが古典的手法のpoly(MN)時間と比較してO(log(MN))時間で実行可能であり、高次元の「ビッグ量子データ」の処理を効率的に行い、プライバシーを強化できることが示された。

ABSTRACT

Machine-learning tasks frequently involve problems of manipulating and classifying large numbers of vectors in high-dimensional spaces. Classical algorithms for solving such problems typically take time polynomial in the number of vectors and the dimension of the space. Quantum computers are good at manipulating high-dimensional vectors in large tensor product spaces. This paper provides supervised and unsupervised quantum machine learning algorithms for cluster assignment and cluster finding. Quantum machine learning can take time logarithmic in both the number of vectors and their dimension, an exponential speed-up over classical algorithms.

研究の動機と目的

• 高次元のベクトルと大規模データセットを含む機械学習タスクにおいて、指数的高速化を実現する量子アルゴリズムの開発。
• ベクトルの数と次元の増加に伴い多項式的にスケーリングする古典的手法の計算ボトルネックの解消。
• 量子計算を用いて、効率的な教師ありクラスタ割り当てと教師なしk-meansクラスタリングを実現すること。
• 元のデータベースへのクエリ数をO(log(MN))に制限することで、量子機械学習がデータプライバシーをどの程度向上できるかの調査。

提案手法

• 古典的データをO(log N)時間で量子状態にロードできる量子ランダムアクセスメモリ（qRAM）を用い、高次元ベクトルの重ね合わせを実現する。
• 量子フーリエ変換や量子線形方程式系アルゴリズムを用いて、量子状態の後処理をpoly(log N)時間で実行する。
• 内積や量子状態間の距離をO(log N)時間で計算するために、量子位相推定アルゴリズムを適用し、古典的サンプリングと比較して指数的高速化を達成する。
• 量子アディアバティックアルゴリズムを用いて、Lloydのk-meansアルゴリズムの量子版を開発し、O(k log k MN)時間でクラスタ割り当てを求める。
• 複数の量子状態のコピーとエルミート演算子を用いて、非線形距離測度への一般化を実現し、高次多項式距離測度を可能にする。
• 量子カウントを用いて、精度εで演算子の期待値をO(ε⁻¹ q log N)ステップで推定する。ここでqは状態のコピー数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アルゴリズムは、高次元空間におけるベクトル分類とクラスタリングにおいて、古典的手法よりも指数的高速化を達成できるか？
• RQ2 量子ランダムアクセスメモリ（qRAM）をどのように活用して、機械学習のための古典的データを量子形式で効率的にロード・処理できるか？
• RQ3 古典的手法と比較して、大規模かつ高次元のベクトル間の距離や内積を計算する際の量子計算複雑度はどのようになるか？
• RQ4 量子アディアバティックアルゴリズムを用いて、NP困難なk-meansクラスタリング問題を近似的に解く際に、量子高速化が可能か？
• RQ5 量子機械学習は、元のデータベースへのクエリ数をO(log(MN))に制限することで、どの程度データプライバシーを向上できるか？

主な発見

• N次元空間内のM個のベクトルに対するクラスタ割り当ては、量子コンピュータ上でO(log(MN))時間で実行可能であり、古典的手法がpoly(MN)時間を要するのと比較して指数的高速化が達成される。
• 量子アディアバティックアルゴリズムに基づく量子k-meansアルゴリズムは、O(k log k MN)時間で実行可能であり、教師なしクラスタリングタスクにおいて指数的高速化を提供する。
• 量子アルゴリズムは、高次元ベクトル間の内積や距離をO(log N)時間で推定可能であるが、古典的手法ではO(poly(N))時間が必要となる。
• qRAMの使用により、O(log N)ステップで古典的データを符号化した量子状態を準備でき、指数的に大きなベクトル空間への効率的アクセスが可能になる。
• 量子機械学習はプライバシーを強化する：サイズO(MN)のデータベースをクエリするには、O(log(MN))量子ビットのみで十分であり、データの指数的に小さな部分にしかアクセスされない。
• 観測可能な宇宙の全情報量（約2³⁰⁰ビット）ですら、小さな量子コンピュータが数百年の操作で表現・分析可能である。