[論文レビュー] Adjoint cyclotomic multiple zeta values and cyclotomic multiple harmonic values

David Jarossay|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 20被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、巡回的多重ゼータ値の $p$-進および有限類似として、随伴巡回的多重ゼータ値（Ad $p$-MZV$_\mu_N$）と巡回的多重調和値（MHV$_\mu_N$）を導入し、二重シャッフル、アソシエータ、およびカシワラ＝ヴェルヌ関係式との関係を確立する。主な貢献は、$p$-進および有限の巡回的多重ゼータ値のアデール的同値性に関する予想であり、重みおよびフロベニウスフィルトレーションを通じて $p$-進周期と有限ゼータ値を結びつける。

ABSTRACT

We introduce adjoint cyclotomic multiple zeta values and cyclotomic multiple harmonic values. They are two variants of cyclotomic multiple zeta values, closely related to each other. They arise as key tools for the study of $p$-adic cyclotomic multiple zeta values. Moreover, cyclotomic multiple harmonic values provide an adelic lift to a cyclotomic generalization of finite multiple zeta values. We establish certain standard properties of these two objects. We consider two types of properties : some related to double shuffle relations, and some related to associator and Kashiwara-Vergne relations.

研究の動機と目的

• 巡回的多重ゼータ値の $p$-進および有限類似として、随伴巡回的多重ゼータ値および巡回的多重調和値を定義し、それらを研究すること。
• 二重シャッフル、アソシエータ、およびカシワラ＝ヴェルヌ関係式を含むそれらの代数的性質を確立すること。
• 調和多重多対数関数を用いて、有限多重ゼータ値のアデール的上昇を巡回的設定に拡張すること。
• $p$-進および有限の重み付きフィルトレーションの間の同値性に関する予想を提示し、対数的クリスタリンコhomologyにおけるフロベニウスおよびホッジフィルトレーションを結びつけること。

提案手法

• $\mathbb{P}^1\setminus\{0,\mu_N,\infty\}$ のプロ-ユニポテンツ基本群族への随伴作用を用いて、随伴 $p$-進巡回的多重ゼータ値を定義すること。
• 過収束 $p$-進反復積分としての巡回的多重調和値を導入し、有限多重ゼータ値を一般化すること。
• 非可換形式べき級数のシャッフル積と反転方程式を用いて、二重シャッフル関係式を確立すること。
• 随伴多重多対数関数および調和多重多対数関数の構造から、アソシエータおよびカシワラ＝ヴェルヌ関係式を導出すること。
• $p$-進反復積分の $p$ を法とする還元を用いて、随伴巡回的多重ゼータ値の有限類似を構成すること。
• モチーフ的ガロア作用および重みフィルトレーションの枠組みを用いて、フロベニウス作用を通じて $p$-進および有限ゼータ値を結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 随伴巡回的多重ゼータ値は、$p$-進設定における二重シャッフルおよびアソシエータ関係式とどのように関係するか？
• RQ2 巡回的多重調和値は、巡回的文脈における有限多重ゼータ値のアデール的上昇として果たす役割は何か？
• RQ3 $p$-進および有限の重み付きフィルトレーションの間の比較はどのように行われるか？ そして、その同値性に関する予想の意義は何か？
• RQ4 フロベニウス作用および重みフィルトレーションの観点から、有限巡回的多重ゼータ値の構造はどのようなものか？
• RQ5 カシワラ＝ヴェルヌ方程式は、巡回的設定における随伴多重ゼータ値の性質として解釈可能か？

主な発見

• 随伴 $p$-進巡回的多重ゼータ値は、$N=1$ の場合に既知の結果を拡張して、二重シャッフルおよびカシワラ＝ヴェルヌ関係式を満たす。
• 巡回的多重調和値は、有限多重ゼータ値の巡回的一般化へのアデール的上昇を提供し、$p$ を法とする還元が明確に定義される。
• 有限巡回的多重ゼータ値 $\zeta_{f,\alpha}^{\operatorname{Ad}}$ は、過収束調和多重多対数関数の $p$ を法とする還元として定義される。
• 予想では、随伴巡回的多重ゼータ値の $p$-進および有限の重み付きフィルトレーションが同値であるとされ、対数的クリスタリンコhomologyにおけるフロベニウスおよびホッジフィルトレーションが結びつけられる。
• $N=1$ の場合、有限随伴巡回的多重ゼータ値は、有限多重ゼータ値と同一の $\mathbb{Q}$-ベクトル空間を生成するため、$N$ を高める一般化が可能であると考えられる。
• 有限二重シャッフルおよびアソシエータ方程式は、対応する $p$-進方程式の最低重量成分として定義され、既知の文献の結果を一般化する。