[論文レビュー] Adjoint shadowing directions in hyperbolic systems for sensitivity analysis

Angxiu Ni|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 33被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、長時間平均目的関数のアドジョイント感度解析に用いるために、不安定なアドジョイント成分がゼロである有界な非同次アドジョイント解である「アドジョイントシャドウ方向」を、双曲型系に対して導入する。本稿は、双曲型流れおよび微分同相写像の両者において、その一意的存在的を確立し、接線型ソルバーを必要としない効率的なアドジョイントベースの感度計算を可能にし、特にカオス的系におけるNILSASの発展を進める。

ABSTRACT

For hyperbolic diffeomorphisms, we define adjoint shadowing directions as a bounded inhomogeneous adjoint solution whose initial condition has zero component in the unstable adjoint direction. For hyperbolic flows, we define adjoint shadowing directions similarly, with the additional requirement that the average of its inner-product with the trajectory direction is zero. In both cases, we show unique existence of adjoint shadowing directions, and how they can be used for adjoint sensitivity analysis. Our work set a theoretical foundation for efficient adjoint sensitivity methods for long-time-averaged objectives such as NILSAS.

研究の動機と目的

• 長時間平均目的関数を対象とするカオス的系において、従来のアドジョイント法が失敗することを解決すること。
• 双曲型流れおよび微分同相写像に対して、不安定なアドジョイント成分がゼロである有界な非同次アドジョイント解としてのアドジョイントシャドウ方向を定義すること。
• 一様双曲性およびエルゴード性の下で、アドジョイントシャドウ方向の一意的存在的を確立すること。
• 多くのパラメータと少ない変数を有する系に対して特に有効な、効率的なアドジョイント感度法（例：NILSAS）の理論的基盤を提供すること。
• アドジョイント解のみから得られる解析的アドジョイントシャドウ方向を導出することで、アドジョイント感度のための接線型ソルバーの必要性を排除すること。

提案手法

• アドジョイントシャドウ方向を、不安定なアドジョイント方向に直交する初期条件を満たす非同次アドジョイント方程式の有界解として定義する。
• 双曲型流れの場合、軌道方向との内積の時間平均がゼロであるという追加制約を課す。
• アドジョイント変分方程式および射影作用素を用いて、アドジョイント解を安定、不安定、中立成分に分解する。
• シャドウレムマおよび一様双曲性を活用して、アドジョイントシャドウ方向の存在および一意性を証明する。
• アドジョイントシャドウ方向に基づく感度公式を導出し、長時間平均目的関数の勾配を効率的に計算可能とする。
• 理論を応用して、接線型ソルバーを一切必要としない「非侵襲的最小二乗アドジョイントシャドウ（NILSAS）」アルゴリズムを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様双曲性およびエルゴード性の下で、中立方向が存在する状況において、双曲型流れに対してアドジョイントシャドウ方向を厳密に定義でき、かつ有界かつ一意的であるか。
• RQ2 アドジョイントシャドウ方向をどのように構築すれば、接線型ソルバーの要件に依存せず、効率的な感度解析を可能にするか。
• RQ3 双曲型流れにおいて、アドジョイントシャドウ方向に課すべき制約は何か。これは、軌道のシャドウング性と整合性を持つようにする必要がある。
• RQ4 アドジョイントシャドウ方向は、カオス的系における線形応答理論およびルエールのフラクチュエーション・ディスシペーション定理とどのように関係するか。
• RQ5 アドジョイントシャドウ方向を用いて、理論的にも的確で、計算的にも効率的な感度公式を導出できるか。特に、多くのパラメータを有する系に対して。

主な発見

• 一様双曲性およびエルゴード性の下で、双曲型流れおよび微分同相写像に対して、アドジョイントシャドウ方向は存在し、一意に定義される。
• 双曲型流れの場合、アドジョイントシャドウ方向は、有界であることと、軌道方向との時間平均内積がゼロであるという性質によって一意に特徴づけられる。
• アドジョイントシャドウ方向は不安定なアドジョイント方向に直交しており、したがって安定および中立部分空間上に存在することが保証される。
• 本手法により、接線型ソルバーを必要としないアドジョイント感度解析が可能となり、多くのパラメータを有する問題に適している。
• 理論的枠組みは、長時間平均目的関数を対象とするカオス的系におけるアドジョイント感度のための効率的アルゴリズムであるNILSASの開発を支援する。
• アドジョイントシャドウ方向は、線形応答理論と整合する感度公式を満たしており、アドジョイント解のみから計算可能である。