[論文レビュー] Adjunctions in Quantaloid-enriched Categories

Lili Shen|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2014

Rough Sets and Fuzzy Logic参考文献 64被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、量的モノイド Q に値をとる圏の圏における随伴の統一的枠組みを構築し、分配関手を介して Q-圏間のイズベル随伴およびカン随伴を導入する。これらの構成の関手的性質を情報写像を用いて確立し、自由ココアプティミューション関手の新たな分解と、形式的概念分析および粗い集合論のファジィ設定への拡張をもたらす。

ABSTRACT

This dissertation is devoted to a study of adjunctions concerning categories enriched over a quantaloid Q (or Q-categories for short), with the following types of adjunctions involved: (1) adjoint functors between Q-categories; (2) adjoint distributors between Q-categories; (3) adjoint functors between categories consisting of Q-categories. For a small quantaloid Q and a distributor between Q-categories, two adjunctions between the Q-categories of contravariant and covariant presheaves are presented. These adjunctions respectively extend the fundamental construction of Isbell adjunctions and Kan extensions in category theory, so, they will be called the Isbell adjunction and Kan adjunction, respectively. The functoriality of these constructions is the central topic of this dissertation. In order to achieve this, infomorphisms between distributors are introduced to organize distributors (as objects) into a category. Then we proceed as follows: first, the Isbell adjunction and Kan adjunction associated with each distributor between Q-categories give rise to two monads, which are respectively (covariant) functorial and contravariant functorial from the category of distributors and infomorphisms to the category of Q-closure spaces; second, it is shown that the assignments of a distributor to the fixed points of the two monads are respectively (covariant) functorial and contravariant functorial from the category of distributors and infomorphisms to that of skeletal complete Q-categories and left adjoint functors. As consequences of the functoriality of the above processes, three factorizations of the free cocompletion functor of Q-categories are presented. Finally, as applications, the theory of formal concept analysis and that of rough sets are extended to theories based on fuzzy relations between fuzzy sets.

研究の動機と目的

• 量的モノイド Q に値をとる圏におけるイズベルおよびカン随伴を一般化すること。
• 分配関手間の情報写像を用いて、これらの随伴の関手的性質を確立すること。
• 随伴から生じるモノイドの不動点を、スケルタルで完全な Q-圏として特徴づけること。
• 形式的概念分析および粗い集合論を、ファジィ集合間のファジィ関係へと拡張すること。
• Q-圏における自由ココアプティミューション関手の新たな分解を提供すること。

提案手法

• Q-分配関手間の情報写像を導入し、分配関手の圏を構成する。
• 各分配関手 φ: A −◦−/ B に対して、イズベル随伴 φ↓ ⊣ φ↑ およびカン随伴 φ∗ ⊣ φ∗ を定義する。
• PA, PB をそれぞれプレシャーフの Q-圏とするとき、モノイド φ↓◦φ↑ を PA 上、φ∗◦φ∗ を PB 上に構成する。
• Q-閉包空間を、そのプレシャーフ圏上にモノイドを備えた Q-圏として導入する。
• 写像 φ ↦ (A, φ↓◦φ↑) および φ ↦ (B, φ∗◦φ∗) が、Q-閉包空間の圏への共変および反変関手であることを証明する。
• これらのモノイドの不動点が、スケルタルで完全な Q-圏をなしており、写像が関手的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 イズベルおよびカン随伴を、量的モノイド Q に値をとる圏に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 分配関手間の情報写像の下で、イズベルおよびカン随伴の関手的性質はどのように振る舞うか？
• RQ3 モノイド φ↓◦φ↑ および φ∗◦φ∗ の不動点は、Q-圏における完全性とどのように関係するか？
• RQ4 Q-圏における自由ココアプティミューション関手は、これらの随伴を用いてどのように分解できるか？
• RQ5 形式的概念分析および粗い集合論は、ファジィ集合間のファジィ関係へとどのように拡張できるか？

主な発見

• 写像 φ ↦ (A, φ↓◦φ↑) は、Q-分配関手および情報写像の圏から Q-閉包空間の圏への共変関手である。
• 写像 φ ↦ (B, φ∗◦φ∗) は、Q-分配関手および情報写像の圏から Q-閉包空間の圏への反変関手である。
• PA 上のモノイド φ↓◦φ↑ の不動点は完全な Q-圏をなし、その写像は共変関手的である。
• PB 上のモノイド φ∗◦φ∗ の不動点も完全な Q-圏をなし、その写像は反変関手的である。
• これらの構成の関手的性質から、Q-圏における自由ココアプティミューション関手の3通りの新たな分解が得られる。
• Q-圏および Q-分配関手を用いて、形式的概念分析および粗い集合論がファジィ設定へと一般化される。