[論文レビュー] Adjustable self-loop on discrete-time quantum walk and its application in spatial search

Huiquan Wang, Jie Zhou+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、離散時間量子ウォーク（DTQW）における連続的で実数パラメータ制御の自己ループを提案し、状態空間次元の増加を伴わずに自己ループ強度を微調整可能にした。2次元および3次元格子上では、各頂点の次数中心性—非整数値—に自己ループ重みを設定することで、DTQWベースの探索成功率を O(1/log N) からほぼ100%まで向上させ、格子サイズが増加するにつれてわずかに向上し、20×20格子では97.2%の成功を達成した。

ABSTRACT

How self-loops on vertices affect quantum walks is an interesting issue, and self-loops play important roles in quantum walk based algorithms. However, the original model that adjusting the effect of self-loops by changing their number has limitations. For example, the effect of self-loops cannot be adjusted continuously, for their number must be an integer. In this paper, we proposed a model of adjustable self-loop on discrete-time quantum walk, whose weight is controlled by a real parameter in the coin operator. The proposed method not only generalises the situations where the number of self-loops is an integer, but also provides a way to adjust the weight of the self-loop continuously. It enhances the potential of self-loops in applications. For instance, we improve the success rate of the quantum walk based search on a $20 imes20$ two-dimension lattice from $23.6\%$ to $97.2\%$ by the proposed method. And the success rate of the improved search, which only scales as $O(1/\log{N})$ before being improved, even increases slightly with the size of the lattice. To the best of our knowledge, this is the first time that such an improvement is achieved on the quantum walk based spatial search.

研究の動機と目的

• 標準的なDTQWにおける自己ループ強度の離散的調整制限を克服すること。
• 自己ループ効果を調整する際、ウォークの状態空間次元を拡大する必要を排除すること。
• 連続的な自己ループチューニングが、2次元および3次元格子上でのDTQWベースの空間探索性能を顕著に向上させることを調査すること。
• 非整数の自己ループ重み—特に次数中心性—が、標準的なDTQWの O(1/log N) スケーリングを上回る探索成功をもたらすかどうかを特定すること。

提案手法

• 自己ループ強度を制御する実数パラメータ n を組み込んだ、修正されたコイン演算子「グローバー・ループ演算子」を導入し、DTQWの進化において自己ループ重みを制御する。
• 各頂点に1つの自己ループを接続するが、コイン演算子内の実数パラメータ n を用いてその有効重みを変化させ、状態空間の拡大を回避する。
• n が非負整数の場合、n 個の自己ループの効果を再現する。非整数 n の場合、n と n+1 個の自己ループの間を補間する。
• 2次元および3次元格子に、各頂点の次数中心性（例：2次元グリッドの内部ノードでは4）に等しい n を設定することで、調整可能な自己ループを適用する。
• さまざまな格子サイズにおける探索成功率およびピーク時間 t_peak を評価するために、数値シミュレーションを実施する。
• 連続的チューニングの利点を明確にするために、標準的なDTQW（自己ループなし）および整数自己ループモデルと性能を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DTQWにおける自己ループ強度は、整数ステップに限らず連続的に調整可能か？
• RQ2 連続的自己ループチューニングは、2次元および3次元格子上でのDTQWベースの空間探索成功率を向上させるか？
• RQ3 非整数の自己ループ重み—例えば次数中心性—は、整数の自己ループ数よりも優れた探索性能をもたらすか？
• RQ4 増加した実行時間にもかかわらず、改善された探索アルゴリズムは非線形計算複雑性を維持するか？

主な発見

• 提案された調整可能な自己ループモデルは、状態空間次元の増大を伴わず、コイン演算子内の実数パラメータを用いて自己ループ強度を連続的にチューニング可能である。
• 20×20の2次元格子上では、自己ループ重みを次数中心性（非整数）に設定することで、探索成功率が23.6%から97.2%に向上した。
• 2次元格子上での改善された探索の成功率は、格子サイズが増加するにつれてわずかに上昇するが、元来の O(1/log N) の減少とは逆転する。
• この手法は3次元格子にも一般化可能であり、同様に高い成功率を達成しており、2次元にとどまらず広範な適用性を示している。
• 計算複雑性は O(√N) のまま維持されており、性能向上がスケーラビリティの犠牲を伴わないことを確認した。
• 著者らの知る限り、本研究は2次元および3次元格子上でのDTQWベースの空間探索において、このような性能向上を達成した初の試みである。