[論文レビュー] Admissible unitary completions of locally $Q_p$-rational representations of $GL_2(F)$

Vytautas Paškūnas|ArXiv.org|May 7, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$p$-進体 $F$ における $ {GL}_2(F)$ の局所 $ {Q}_p$-有理的表現に対して、格理論と表現論を用いて許容的ユニタリ完備化を構成する。主な結果は、$L'$-Banach空間表現が、$ {Hom}$ 空間が非自明な特定の $ {mod} ext{ }p$ 表現へ写像を持つ、$G$-不変な部分空間を含むこと、$F = {Q}_p$ のときガロア表現と関連することを示す。この構成は、$L$-ベクトル空間上の滑らかな表現に適用され、指定されたホッジ＝テイト重みを持つクリスタリン表現への $ {mod} ext{ }p$ ガロア表現の昇格のための枠組みを提供する。

ABSTRACT

Let $F$ be a finite extension of $Q_p$, $p>2$. We construct admissible unitary completions of certain representations of $GL_2(F)$ on $L$-vector spaces, where $L$ is a finite extension of $F$. When $F=Q_p$ using the results of Berger, Breuil and Colmez we obtain some results about lifting 2-dimensional mod $p$ representations of the absolute Galois group of $Q_p$ to crystabelline representations with given Hodge-Tate weights.

研究の動機と目的

• 局所 $ {Q}_p$-有理的表現を完備化する $ {GL}_2(F)$ の許容的ユニタリBanach空間表現を構成すること。
• $F = {Q}_p$ のとき、2次元の $ {mod} ext{ }p$ ガロア表現が、指定されたホッジ＝テイト重みを持つクリスタリン表現に昇格可能であることを確立すること。
• このような完備化が、$K$-タイプ、格、および $ {mod} ext{ }p$ 表現の半単純化を含む体系的な構成から生じることを示すこと。
• 任意の許容的ユニタリ完備化が、提示された構成から生じることを示し、分類の完全性を保証すること。
• 『非算術的』な $ {mod} ext{ }p$ 表現がユニタリ完備化の文脈における役割を明確にし、理論から除外されることを示すこと。

提案手法

• $K = {GL}_2(\mathfrak{o})$ の滑らかな無限可約 $L$-表現 $\tau$ と $G$ の $ {Q}_p$-有理的表現 $W$ に対して、$\tau \otimes W$ の $K$-不変格を用いる。
• $\mathfrak{R}_{\mathfrak{s}}$、すなわち $G$ の滑らかな表現の圏におけるタイプ理論とベルンシュタイン成分を用いて表現を分類する。
• $M$ を $\tau \otimes W$ の格とするとき、$M \otimes_A k$ の部分商 $\sigma$ の存在を介して、$ {mod} ext{ }p$ 表現 $\kappa$ からの昇格を適用する。
• 準同型表現の構造と $ {Sym}^n k_L^2$ の半単純化を用いて、部分商と中心的特徴を分析する。
• キーとなる技術的道具は、$L$ の有限拡大の整数環 $A$ を係数とする $A$-加群の圏における、完備化群代数と射影的／入射的包絡の使用である。
• この構成は普遍的であることが示され、任意の許容的ユニタリ完備化がこの方法から生じる。これは命題6.2と補題7.8により証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $F$ が $ {Q}_p$ の有限拡大であるとき、局所 $ {Q}_p$-有理的表現に対する $ {GL}_2(F)$ の許容的ユニタリ完備化を構成可能か？
• RQ2 $ {mod} ext{ }p$ 表現 $\kappa$ が、ユニタリBanach空間表現への非自明な $ {Hom}$ 空間を持つユニットボールへ写像する条件は何か？
• RQ3 ベルジャーやブリエル、コルゼの $p$-進ホッジ理論に関する結果は、$ {mod} ext{ }p$ ガロア表現がクリスタリン表現にどのように昇格するかにどのように関係するか？
• RQ4 完備化の構成において、タイプ $\tau$ 及びその格 $M$ の役割は何か？
• RQ5 その結果得られる完備化は位相的に可約でないか？ また、いつ「通常型」でなくなるか？

主な発見

• $p > 2$ に対して、$K$ の典型的な滑らかな無限可約 $L$-表現 $\tau$ と $ {Q}_p$-有理的表現 $W$ が与えられたとき、$L$ の有限拡大 $L'$ と、$\pi \otimes_{L'} W_{L'}$ が $E$ に稠密に含まれる許容的ユニタリ $L'$-Banach空間表現 $E$ が存在する。ここで $\pi \in \mathfrak{R}_{\mathfrak{s}}$ である。
• この構成により、$\operatorname{Hom}_G(\kappa \otimes_k k', E^0 \otimes_{A'} k') \neq 0$ が保証され、$E^0$ を $E$ のユニットボールとする。これにより、完備化と $ {mod} ext{ }p$ 表現 $\kappa$ が関連づけられる。
• $F = \mathbb{Q}_p$ のとき、ベルジャーやブリエル、コルゼの結果により、これらの完備化は位相的に可約でなく、指定されたホッジ＝テイト重みを持つクリスタリンガロア表現に昇格可能である。
• 完備化は一般には通常型ではない。特に $\kappa$ が上昇的（supersingular）である場合には、関連する $p$-進ガロア表現の非通常型性が示唆される。
• 命題6.2と補題7.8により、任意の許容的ユニタリ完備化が、提示された構成から生じることが示され、この方法の普遍性が保証される。
• $\operatorname{Sym}^n k_L^2$ の半単純化は、$p$-進桁の言語で明示的に計算され、この構造が、$n \geq p^2 - 1$ のとき、中心的特徴 $\omega^n$ を持つすべての既約 $k_L$-表現が部分商として現れることを示す。