[論文レビュー] Affine and degenerate affine BMW algebras: The center

Zajj Daugherty, Arun Ram+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ブラウアー図と符号付き生成子を用いて中心的要素の基底を構成することで、アフィンおよび退化アフィンBMW代数の中心を特徴づける。中心は特定の図にインデックスが付いたトレースに類似した要素によって生成され、パラメータ $ z, q, u $ を含む重要な関係式が示され、図式的および代数的技法を用いて中心の完全な代数的記述が確立される。

ABSTRACT

The degenerate affine and affine BMW algebras arise naturally in the context of Schur-Weyl duality for orthogonal and symplectic Lie algebras and quantum groups, respectively. Cyclotomic BMW algebras, affine Hecke algebras, cyclotomic Hecke algebras, and their degenerate versions are quotients. In this paper the theory is unified by treating the orthogonal and symplectic cases simultaneously; we make an exact parallel between the degenerate affine and affine cases via a new algebra which takes the role of the affine braid group for the degenerate setting. A main result of this paper is an identification of the centers of the affine and degenerate affine BMW algebras in terms of rings of symmetric functions which satisfy a "cancellation property" or "wheel condition" (in the degenerate case, a reformulation of a result of Nazarov). Miraculously, these same rings also arise in Schubert calculus, as the cohomology and K-theory of isotropic Grassmanians and symplectic loop Grassmanians. We also establish new intertwiner-like identities which, when projected to the center, produce the recursions for central elements given previously by Nazarov for degenerate affine BMW algebras, and by Beliakova-Blanchet for affine BMW algebras.

研究の動機と目的

• アフィンおよび退化アフィンBMW代数の中心の構造を特定すること。
• 図式的生成子および符号付きパラメータを用いた中心的要素の完全な基底を特定すること。
• トレースに類似した不変量と図の交差を用いて、中心を定義する代数的関係を確立すること。
• 従来のBMW代数に関する結果をアフィンおよび退化アフィン設定に一般化すること。
• これらの代数における中心的要素を理解するための図式的および代数的枠組みを提供すること。

提案手法

• ブラウアー図 $ d ∈ D_k $ の最小長さ表現を用いて、生成子 $ e_i $ および符号付き $ s_i $-要素 $ T_i^{ u} $ から $ T_d^{n_1, u, u,n_k} $ を構成する。
• 図の辺に変数 $ Y_i $ を割り当て、辞書式順序に基づき $ Y_i^{n_i} $ が上端および下端の行に作用するようにする。
• $ e_i $-生成子に対しては $ E_i $ の積として、$ s_i $-生成子に対しては $ T_i^{ u_j} $ の積として $ T_d $ を定義し、符号選択 $ u_j = ±1 $ を含む。
• 中心を特徴づけるために、$ Z_0^-, Z_0^+ $ およびパラメータ $ z, q, u $ を含む重要な代数的関係を課す。
• ブラウアー基底 $ D_k $ を用いて中心的要素をパrameter化し、代数的関係に対する不変性を保証する。
• トレースに類似した演算子とパラメータ $ u, q, z $ の間の中心的関係を導出し、完全な特徴づけをもたらす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンおよび退化アフィンBMW代数の中心の完全な代数的構造は何か？
• RQ2 中心的要素は、図式的生成子および符号付きパラメータからどのように体系的に構成できるか？
• RQ3 要素 $ T_d^{n_1, u, u,n_k} $ が中心に属するためにはどのような代数的関係が成立する必要があるか？
• RQ4 パラメータ $ z, q, u $ は中心の構造と関係式にどのように影響を与えるか？
• RQ5 中心はブラウアー図と辺に基づく単項式でインデックスが付いた基底を用いて完全に記述可能か？

主な発見

• アフィンおよび退化アフィンBMW代数の中心は、$ d $ がブラウアー基底 $ D_k $ を走るときの要素 $ T_d^{n_1, u, u,n_k} $ によって生成される。
• 中心的関係が導出される：$ ig(Z_0^- - rac{z}{q-q^{-1}} - rac{u^2}{u^2-1}ig)ig(Z_0^+ + rac{z^{-1}}{q-q^{-1}} - rac{u^2}{u^2-1}ig) = rac{-(u^2 - q^2)(u^2 - q^{-2})}{(u^2-1)^2(q-q^{-1})^2} $、これは中心を完全に特徴づける。
• 中心的要素の構成は、図の最小長さ表現および $ s_i $-生成子への符号割り当てに依存する。
• 要素 $ Y_i^{n_i} $ は図内の辺の辞書式順序に基づき定義され、上端および下端の行における一貫性を保証する。
• 中心は $ Y_i $ に関する多項式代数の商として同型であり、パラメータ $ z, q, u $ を含む中心的関係を modulo に含む。
• 従来の古典的BMW代数に関する結果が、アフィンおよび退化アフィンの場合に一般化され、中心の完全な基底が得られる。