[論文レビュー] Affine geometric spaces in tangent categories

Richard Blute, G. S. H. Cruttwell+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、平坦で torsion-free な接続による特徴付けを通じて、接続圏におけるアフィン幾何的空間を導入し、そのような空間の圏が元の圏から誘導される接続圏構造を引き継ぐことを示している。また、アフィン接続圏を Eilenberg-Moore コalgebra として特徴付ける 2-コモナドを接続圏の 2-圏上に構成し、平坦で torsion-free な接続を T(TM) から TM への、誘導された幾何的構造と整合するような射として、新たな特徴付けを提供している。

ABSTRACT

We continue the program of structural differential geometry that begins with the notion of a tangent category, an axiomatization of structural aspects of the tangent functor on the category of smooth manifolds. In classical geometry, having an affine structure on a manifold is equivalent to having a flat torsion-free connection on its tangent bundle. This equivalence allows us to define a category of affine objects associated to a tangent category and we show that the resulting category is also a tangent category, as are several related categories. As a consequence of some of these ideas we also give two new characterizations of flat torsion-free connections. We also consider 2-categorical structure associated to the category of tangent categories and demonstrate that assignment of the tangent category of affine objects to a tangent category induces a 2-comonad. Finally, following work of Jubin, we consider monads and comonads on the category of affine objects associated to a tangent category. We show that there is a rich theory of monads and comonads in this setting as well as various distributive laws and mixed distributive laws relating these monads and comonads. Even in the category of smooth manifolds, several of these results are new or fill in gaps in the existing literature.

研究の動機と目的

• 接続圏の文脈においてアフィン幾何的空間を定義・研究し、古典的なアフィン多様体を一般化すること。
• アフィン幾何的空間の圏が、元の圏から誘導される接続圏構造を引き継ぐことの証明。
• 繰り返し接続バンドル間の射を用いた、平坦で torsion-free な接続の新しい圏論的特徴付けの提供。
• 接続圏の 2-圏的枠組みを構築し、アフィン幾何的空間の割り当てに 2-コモナド構造を同定すること。
• 滑らかな多様体から接続圏へと高階構造（例えば bimonad）を抽象化する基盤を築くこと。

提案手法

• Auslander-Markus の定理により、アフィン多様体と平坦で torsion-free な接続を持つ多様体との同値性を用い、接続圏におけるアフィン幾何的空間を定義する。
• 幾何的空間をその接続バンドル上の接続を備えた対象として定義し、平坦で torsion-free な接続を持つものをアフィン幾何的空間とする。
• アフィン幾何的空間の圏を幾何的空間の完全な部分圏として構成し、元の圏からの持ち上げを通じて接続構造を引き継ぐことを示す。
• 任意の接続圏に対してアフィン幾何的空間の割り当てが、接続圏の 2-圏上に 2-コモナドをなすことを証明する。
• 接続圏間の射に関する技術的補題を活用し、ファンクターおよび自然変換の下で構造の整合性を保証する。
• 図式的推論とファンクター的持ち上げを用い、T(TM) と TM に誘導される構造が、接続の新しい特徴付けに必要な公理を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン多様体は接続圏の枠組み内でどのように公理化可能か？
• RQ2 幾何的空間（接続を備えたもの）の圏が、いつ接続圏構造を引き継ぐのか？
• RQ3 平坦で torsion-free な接続は、繰り返し接続バンドル間の射として圏論的に特徴付け可能か？
• RQ4 各接続圏に対してアフィン幾何的空間の圏を割り当てる際に、どのような 2-圏的構造が生じるか？
• RQ5 滑らかな多様体の圏における接続ファンクターのモノイドおよびコモノイド構造は、接続圏へとどのように一般化されるか？

主な発見

• 終着的ファイバー積を持つ接続圏におけるアフィン幾何的空間の圏は、元の圏から持ち上げられた構造を備えた、自身が接続圏である。
• 対象 M に平坦で torsion-free な接続 K が存在するとき、K: T(TM) → TM なる射として特徴付け可能であり、K が誘導する標準的な幾何的構造と可換である。
• 任意の接続圏に対してアフィン幾何的空間の接続圏を割り当てる操作は、接続圏の 2-圏上に 2-コモナドをなす。
• アフィン接続圏は、この 2-コモナドの Eilenberg-Moore コalgebra として同定され、平坦で torsion-free な接続を持つ構造の圏論的特徴付けが得られる。
• 忘却ファンクターの厳密性と忠実性が保存され、元の接続圏構造と整合的であることが保証される。
• 結果は Jubin がアフィン多様体上の接続ファンクターのモノイドおよびコモノイド構造について得た結果を一般化し、このような構造のより広範な抽象的枠組みを示唆している。