[論文レビュー] Affine Hecke algebras and generalisations of quiver Hecke algebras for type B

Loïc Poulain d’Andecy, Ruari Walker|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、型Bのアフィンヘッケ代数のサイクロトミック商と、ヴァラゴノロとヴァッセロートの構成にインspiredされた一般化された階数付き代数の族との間に同型を確立し、固有値に制限を設けずに、ブルンダンとクレシュチェフの型Aにおける同型を型Bへ拡張する。主な貢献は、型Bのサイクロトミックアフィンヘッケ代数の新しい提示を、クイバーに基づく代数を用いて行い、その表現理論をカテゴライゼーションすることにある。

ABSTRACT

We define and study cyclotomic quotients of affine Hecke algebras of type B. We establish an isomorphism between direct sums of blocks of these algebras and a generalisation, for type B, of cyclotomic quiver Hecke algebras which are a family of graded algebras closely related to algebras introduced by Varagnolo and Vasserot. Inspired by the work of Brundan and Kleshchev we first give a family of isomorphisms for the corresponding result in type A which includes their original isomorphism. We then select a particular isomorphism from this family and use it to prove our result.

研究の動機と目的

• ブルンダンとクレシュチェフの型Aにおけるサイクロトミックヘッケ代数とサイクロトミックKLR代数の同型を、型Bのアフィンヘッケ代数へ一般化すること。
• 固有値に制限を設けずに、すべての有限次元表現を捉えることができる、型Bのアフィンヘッケ代数のサイクロトミック商を定義すること。
• 型Bの表現理論をカテゴライゼーションするフレームワークとして機能する、サイクロトミックKLR代数に類似した一般化された階数付き代数族を構成すること。
• これらの一般化された代数が、型Aの結果を完全に一般化した形で、型Bのアフィンヘッケ代数のサイクロトミック商と同型であることを証明すること。

提案手法

• 頂点集合 $ I_{\nu_1} \cup \cdots \cup I_{\nu_l} $ 上に多重度写像 $ m $ を用いて、アフィンヘッケ代数 $ \text{H}(B_n) $ のサイクロトミック商 $ H(B_n)_{\boldsymbol{\nu},m} $ を定義する。ここで $ I_{\nu} = \{ \nu^\epsilon q^{2l} \mid \epsilon = \pm 1, l \in \mathbb{Z} \} $ である。
• ヴァラゴノロとヴァッセロートが用いたクイバーを一般化し、頂点が $ I_{\nu_1} \cup \cdots \cup I_{\nu_l} $ でインデックス付けされ、$ i $ から $ q^2 i $ への矢印を持つクイバー $ \Gamma_{\boldsymbol{\nu}} $ を構成する。
• クイバー $ \Gamma_{\boldsymbol{\nu}} $ に関連する階数付き代数を定義し、それを $ V_{\boldsymbol{\nu}}^n $ と表記する。さらに、多重度写像 $ m $ を用いて、$ V_{\boldsymbol{\nu}}^n $ のサイクロトミック商 $ V_{\boldsymbol{\nu},m}^n $ を定義する。
• $ H(B_n)_{\boldsymbol{\nu},m} $ のブロックと $ V_{\boldsymbol{\nu},m}^n $ の間の同型の族を確立し、その中から特定の同型を選び、主結果を証明する。
• 局所化技術を用いて、アフィンヘッケ代数 $ \widehat{H}(B_n)^{\text{loc}} $ 内で、生成子 $ \Phi^H_0, \Phi^H_1, g_0, g_1 $ のブレード関係および交換関係を検証する。特に $ X^{-\alpha_0} $ および $ X^{-\alpha_1} $ を含む場合に注目する。
• 局所化代数内での明示的計算により、一般化された代数 $ V_{\boldsymbol{\nu},m}^n $ の定義関係（ブレード関係および $ \Phi_0, \Phi_1 $ を含む交換関係）が $ H(B_n)_{\boldsymbol{\nu},m} $ で満たされることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型Aにおけるサイクロトミックヘッケ代数とサイクロトミックKLR代数の同型は、型Bのアフィンヘッケ代数へ拡張可能か？
• RQ2 型Bの表現理論を完全にカテゴライズするための、サイクロトミックKLR代数の適切な一般化は何か？
• RQ3 固有値に $ \pm 1 $ を除外する制限を設けずに、型Bのアフィンヘッケ代数の表現理論を、サイクロトミック商によって完全に捉えるにはどうすればよいか？
• RQ4 一般化された代数 $ V_{\boldsymbol{\nu},m}^n $ の正確な代数的構造は何か？ そして、サイクロトミック商 $ H(B_n)_{\boldsymbol{\nu},m} $ とどのように関係しているか？
• RQ5 同型 $ H(B_n)_{\boldsymbol{\nu},m} $ と $ V_{\boldsymbol{\nu},m}^n $ を、一貫した同型の族から得られ、その中の1つのメンバーが全結果を導くことができるか？

主な発見

• 型Bのアフィンヘッケ代数のサイクロトミック商 $ H(B_n)_{\boldsymbol{\nu},m} $ は、頂点が $ I_{\nu_1} \cup \cdots \cup I_{\nu_l} $ で、矢印が $ i \to q^2 i $ であるクイバー $ \Gamma_{\boldsymbol{\nu}} $ に関連するクイバー代数のサイクロトミック商である一般化された代数 $ V_{\boldsymbol{\nu},m}^n $ と同型である。
• 同型は、同型の族の中から特定のものを選ぶことで確立され、ブルンダンとクレシュチェフの型Aの結果を型Bへ一般化している。
• この構成により、$ \pm 1 $ が固有値に含まれないという制限が排除され、$ \widehat{H}(B_n) $ のすべての有限次元表現が、これらの商によって捉えられるようになった。
• 一般化された代数 $ V_{\boldsymbol{\nu},m}^n $ は、ヴァラゴノロとヴァッセロートの代数を一般化し、頂点集合に $ \pm 1 $ を含めるように拡張されており、完全なカテゴライゼーションに適している。
• $ V_{\boldsymbol{\nu},m}^n $ の定義関係（ブレード関係や、$ (\Phi_0^H \Phi_1^H - \Phi_1^H \Phi_0^H)e^H(\mathbf{i}) = (g_0 g_1 - g_1 g_0)e^H(\mathbf{i}) $ のような交換関係）が、局所化と明示的計算により $ H(B_n)_{\boldsymbol{\nu},m} $ で満たされていることが確認された。
• すべてのケースにおいて、生成子がブレード関係を満たすとき、ブレード関係 $ Br_\Phi e^H(\mathbf{i}) = 0 $ が成り立つことが確認され、一般化された代数の構造と整合している。