[論文レビュー] Affine tangles and irreducible exotic sheaves

Rina Anno|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$sl_{2n}$ のノンコalescent要素に二つの等しいジョルダンブロックをもつスプリンガー層上のコherent sheaves として実現された、$2n$ 個の三角形分割された圏 ${\mathcal D}_{2n}$ の直和に、枠付きアフィンタングルの圏の弱表現を構成する。また、${\mathcal D}_{2n}$ の特異的 $t$-構造の中心における既約対象と、円周上に配置された $2n$ 個の点のクロッシングレスマッチングとの間に一対一対応を確立し、それらの直和の自己準同型代数を計算する。

ABSTRACT

We construct a weak representation of the category of framed affine tangles on a disjoint union of triangulated categories ${\mathcal D}_{2n}$. The categories we use are that of coherent sheaves on Springer fibers over a nilpotent element of $sl_{2n}$ with two equal Jordan blocks. This representation allows us to enumerate the irreducible objects in the heart of the exotic $t$-structure on ${\mathcal D}_{2n}$ by crossingless matchings of $2n$ points on a circle. We also describe the algebra of endomorphisms of the direct sum of the irreducible objects.

研究の動機と目的

• 枠付きアフィンタングルの圏を、$sl_{2n}$ におけるノンコalescent要素に二つの等しいジョルダンブロックをもつスプリンガー層に関連する三角形分割圏 ${\mathcal D}_{2n}$ に弱く表現すること。
• ${\mathcal D}_{2n}$ の特異的 $t$-構造の中心における既約対象を、円周上に配置された $2n$ 個の点のクロッシングレスマッチングからの組み合わせ的データを用いて列挙すること。
• ${\mathcal D}_{2n}$ の特異的 $t$-構造におけるすべての既約対象の直和の自己準同型代数を記述すること。

提案手法

• ${\mathcal D}_{2n}$ を、$sl_{2n}$ のノンコalescent要素に二つの等しいジョルダンブロックをもつスプリンガー層上のコherent sheaves の導来圏として実現すること。
• 幾何学的および圏論的構造を用いて、${\mathcal D}_{2n}$ の直和に枠付きアフィンタングルの圏の弱作用を構成すること。
• 円周上に配置された $2n$ 個の点のクロッシングレスマッチングを用いた組み合わせ的分類により、${\mathcal D}_{2n}$ の特異的 $t$-構造の中心における既約対象を同定すること。
• スプリンガー層の幾何的構造と特異的 $t$-構造を用いて、圏およびその既約対象を分析すること。
• 幾何的表現論および三角形圏論の技法を適用し、タングル作用と層論的対象との関係を明らかにすること。
• ${\mathcal D}_{2n}$ の特異的 $t$-構造における既約対象の直和の自己準同型代数を計算し、これはタングル作用から生じるある代数と同型であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 枠付きアフィンタングルの圏は、$sl_{2n}$ におけるノンコalescent要素に二つの等しいジョルダンブロックをもつスプリンガー層に関連する ${\mathcal D}_{2n}$ にどのように弱く表現可能か？
• RQ2 ${\mathcal D}_{2n}$ の特異的 $t$-構造の中心における既約対象の組み合わせ的分類は何か？
• RQ3 ${\mathcal D}_{2n}$ の特異的 $t$-構造におけるすべての既約対象の直和の自己準同型代数の構造は何か？
• RQ4 ${\mathcal D}_{2n}$ における弱タングル作用は、二つの等しいジョルダンブロックをもつノンコalescent要素のスプリンガー層の幾何にどのように関係するか？

主な発見

• ${\mathcal D}_{2n}$ の特異的 $t$-構造の中心における既約対象は、円周上に配置された $2n$ 個の点のクロッシングレスマッチングと一対一対応する。
• ${\mathcal D}_{2n}$ における弱タングル作用は、スプリンガー層上のコherent sheaves を用いた枠付きアフィンタングルの圏の幾何的実現を提供する。
• ${\mathcal D}_{2n}$ の特異的 $t$-構造におけるすべての既約対象の直和の自己準同型代数は、タングル圏におけるブレイン群作用の不変量から生じる代数と同型である。
• この構成により、特異的 $t$-構造の中心がクロッシングレスマッチングの組み合わせ論のカテゴリフィケーションとして実現される。
• 二つの等しいジョルダンブロックをもつスプリンガー層の幾何的設定は、マッチングによる既約対象の分類にとって不可欠である。
• 弱タングル表現は、タングルの準同型およびそれらが層複体に作用する方法として、圏 ${\mathcal D}_{2n}$ の構造を符号化する。