[論文レビュー] Aggregation and long memory: recent developments

Remigijus Leipus, Anne Philippe+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2013

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 57被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ランダム係数AR(1)過程の同時集積に関する最近の進展をレビューし、その集積が得られるマクロ過程に長記憶を生じさせることを示している。個々のAR(1)過程の自己回帰係数が単位近傍で正則変動する密度を持つ場合、集積過程は自己共分散とスペクトル密度のべき乗減衰を示し、長記憶の存在を微視的根拠で説明することを確立している。

ABSTRACT

It is well-known that the aggregated time series might have very different properties from those of the individual series, in particular, long memory. At the present time, aggregation has become one of the main tools for modelling of long memory processes. We review recent work on contemporaneous aggregation of random-coefficient AR(1) and related models, with particular focus on various long memory properties of the aggregated process.

研究の動機と目的

• 異質なランダム係数AR(1)過程の同時集積が、集積マクロ過程に長記憶をもたらす仕組みを調査すること。
• 係数密度が単位根近傍で正則変動する場合に、集積過程が長距離依存を示す条件を明確にすること。
• 観測された集積時系列データから自己回帰係数の混合密度を推定する統計的手法の開発および分析。
• 理論的枠組みを非ガウス型およびランダムフィールドモデルに拡張し、推定量の一致性および漸近正規性を評価すること。
• 経済時系列における長記憶の微視的基礎を提供し、「誤った長記憶」に基づく説明に反するものとする。

提案手法

• 独立同分布のランダム係数AR(1)過程と独立同分布のノイズを用い、同時（クロスセクショナル）集積によりマクロ過程 $\mathfrak{X}_N(t)$ を定義する。
• 古典的中心極限定理を適用し、$\mathfrak{X}_N(t)$ の有限次元分布の弱収束を、定常ガウス過程 $\mathfrak{X}(t)$ に示す。
• 係数密度 $\phi(x) \sim c_\phi (1-x)^\beta$ が $x=1$ の近傍で成り立つものと仮定し、自己共分散関数 $\mathrm{E}\mathfrak{X}(0)\mathfrak{X}(t) \sim c \, t^{-\beta}$ の漸近的挙動を導出する。
• 集積過程のスペクトル密度を分析し、$y \to 0$ のとき $f(y) \sim c_f \, y^{-(1-\beta)}$ となることを示し、低周波数特異性により長記憶が確認されることを裏付ける。
• 集積過程の標本自己共分散に基づき、$L^2$ で重み $(1-x^2)^\alpha$ を持つ Gegenbauer多項式の正規直交展開を用いた、混合密度 $\phi$ の非パラメトリック推定を提案する。
• パラメトリック推定およびMLEに基づく推定法を適応し、推定係数の切り捨てを含み、$n$, $N$, $h$ に関する正則性条件の下での収束を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異質なAR(1)過程の同時集積が、集積過程に長記憶をもたらす条件は何か？
• RQ2 集積過程のスペクトル密度はどのように長記憶を反映するか？特に周波数が0に近いときの漸近的挙動は？
• RQ3 自己回帰係数の混合密度 $\phi$ は、観測された集積時系列データから一貫して推定可能か？
• RQ4 提案された非パラメトリックおよびパラメトリック推定量の漸近的性質（一貫性および正規性）は何か？
• RQ5 結果は非ガウス型およびランダムフィールドモデルにどのように拡張可能か？また、このような設定における既存推定量の限界は何か？

主な発見

• 係数密度 $\phi(x)$ が $x=1$ で指数 $\beta \in (0,1)$ で正則変動する場合、集積過程 $\mathfrak{X}(t)$ は長記憶を示し、自己共分散が $\mathrm{E}\mathfrak{X}(0)\mathfrak{X}(t) \sim c \, t^{-\beta}$ のべき乗減衰を示す。
• 集積過程のスペクトル密度は、周波数が0に近いとき $f(y) \sim c_f \, y^{-(1-\beta)}$ と振る舞い、低周波数特異性により長記憶の存在が確認される。
• Gegenbauer多項式展開に基づく非パラメトリック推定量 $\widehat{\phi}_n(x)$ は、$K_n \sim \gamma \log n$ の適切な選択の下で、$L^2$-重み付き意味で一貫している。すなわち、$\int_{-1}^1 \frac{\mathrm{E}(\widehat{\phi}_n(x) - \phi(x))^2}{(1-x^2)^\alpha} dx \to 0$。
• 推定量 $\widehat{\phi}_n(x)$ は、任意の固定された $x \in (-1,1)$ に対して漸近正規であり、$\frac{\widehat{\phi}_n(x) - \mathrm{E}\widehat{\phi}_n(x)}{\sqrt{\mathrm{Var}(\widehat{\phi}_n(x))}} \xrightarrow{d} N(0,1)$。
• 推定された $\sigma^2 = \widehat{\gamma}_n(0) - \widehat{\gamma}_n(2)$ を用いた修正推定量は、確率的に一貫しており、$\int_{-1}^1 \frac{(\widehat{\phi}_n(x) - \phi(x))^2}{(1-x^2)^\alpha} dx \xrightarrow{P} 0$。
• パラメトリック仮定（例：ベータ分布）の下でのMLEベース推定量は、$n,N \to \infty$, $h \to 0$ の下で一貫しており、$\sqrt{N}h^{\min(p,q)} \to 0$, $\sqrt{N}h^{-2}n^{-1} \to 0$ の条件下で漸近正規である。