[論文レビュー] On $α$-covariance, long, short and negative memories for sequences of random variables with infinite variance

Vygantas Paulauskas|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、無限分散を示す確率過程、特にα安定分布および正規化可能分布に対して、古典的共分散の代わりとしてα共分散の概念を導入し、それを拡張する。線形過程、安定場、無限に可除な過程に対してα共分散を適用し、従来の共分散が失敗する重尾設定において、長記憶、短記憶、負記憶の性質を定義する上でその有用性を示している。

ABSTRACT

We consider a measure of dependence for symmetric $α$-stable random vectors, which was introduced by the author in 1976. We demonstrate that this measure of dependence can be extended for much more broad class of random vectors (up to regularly varying vectors in separable Banach spaces). This measure is applied for linear random processes and fields with heavy-tailed innovations, for some stable processes, and these applications show that this dependence measure, named as $α$-covariance is a good substitute for the usual covariance. Also we discuss a problem of defining long, short, and negative memories for stationary processes and fields with infinite variances.

研究の動機と目的

• 対称α安定ベクトルに限定して定義されたα共分散を、可分なバナッハ空間内の正規化可能ベクトルを含むより広いクラスの確率的ベクトルへと拡張すること。
• 2階モーメントが存在しない状況、特に重尾の独立同分布の項を持つ線形過程および安定場において、古典的共分散の代替としてα共分散を確立すること。
• 無限分散を持つ定常過程および場に対して、α共分散を用いて長記憶、短記憶、負記憶の性質を定義し、特徴づけること。
• 無限に可除な過程において、α共分散と他の従属度測度（例：コドィフィレンスやLévy測度）との関係を調査すること。

提案手法

• 可分なバナッハ空間におけるα安定確率的ベクトルのスペクトル測度を用いて、1976年の元の定式化を一般化してα共分散を定義する。
• i.i.d. の重尾の項を持つ線形過程にα共分散を適用し、フィルタ係数とスペクトル測度を用いてその形を導出する。
• Lévy測度Qに基づくQ共分散を定義することで、無限に可除な過程への概念の拡張を図る。これは、安定ベクトルのα共分散に類似している。
• コドィフィレンス関数およびα共分散関数を用いて、無限に可除な過程における混合性とエルゴード性を分析する。
• α共分散が無限に近づく際に消えることが、混合性の必要条件であるような条件を確立し、これとLévy測度の構造との関係を明らかにする。
• 無限分散設定におけるα共分散関数の減衰および符号の振る舞いに基づいて、長記憶、短記憶、負記憶の分類フレームワークを提唱する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 α共分散は、対称α安定ベクトルから逸脱して、バナッハ空間内の正規化可能ベクトルを含むより一般の確率的ベクトルクラスへ一貫して拡張可能か？
• RQ2 α共分散は、無限分散を持つ定常過程における長記憶、短記憶、負記憶の定義と分類をどのように可能にするか？
• RQ3 無限に可除な過程において、α共分散と他の従属度測度（例：コドィフィレンスやLévy測度）との関係は何か？
• RQ4 定常無限に可除な過程において、α共分散が無限に近づく際に消える条件は、混合性を示すためにどのような条件下で成立するか？
• RQ5 α共分散は、無限分散過程を扱う理論的および応用的文脈において、古典的共分散の機能的代替としてどの程度有効に機能するか？

主な発見

• α共分散測度は、d次元の対称α安定ベクトルに加え、可分なバナッハ空間内の正規化可能ベクトルへと拡張可能であり、理論的範囲が広がった。
• 重尾の項を持つ線形過程において、α共分散はフィルタ構造を反映する意味のある従属度の測度を提供し、古典的共分散に類似した性質を示す。
• α共分散関数の減衰様式により、2階モーメントが無限大であっても、減衰速度と符号に基づいて長記憶、短記憶、負記憶の分類が可能である。
• ガウス成分を含まない無限に可除な過程において、Lévy測度Qに基づくQ共分散を定義し、コドィフィレンスと関連づけることが示された。また、α共分散が無限に近づく際に消えることは、混合性の必要条件である。
• α共分散フレームワークは、無限分散時系列における従属度分析のための一貫性があり解釈可能なツールを提供し、L₂理論における古典的共分散の代替として実用的である。