[論文レビュー] Aggregation of Risks and Asymptotic independence

Abhimanyu Mitra, Sidney I. Resnick|ArXiv.org|Jul 25, 2008

Probability and Risk Models参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Gumbel分野の吸引域に属する漸近的独立リスクの和の尾確率が、単一リスクの尾の定数倍として漸近的に振る舞うための十分条件を確立する。この結果は、同一分布でないおよびより軽い尾を持つ周辺分布へと拡張され、部分的指数的および非部分的指数的ケースを含む具体例が提示され、正の係数を持つリスクの線形結合によるポートフォリオ最適化の近似に応用される。

ABSTRACT

We study the tail behavior of the distribution of the sum of asymptotically independent risks whose marginal distributions belong to the maximal domain of attraction of the Gumbel distribution. We impose conditions on the distribution of the risks $(X,Y)$ such that $P(X + Y > x) \sim (const)P (X > x)$. With the further assumption of non-negativity of the risks, the result is extended to more than two risks. We note a sufficient condition for a distribution to belong to both the maximal domain of attraction of the Gumbel distribution and the subexponential class. We provide examples of distributions which satisfy our assumptions. The examples include cases where the marginal distributions of $X$ and $Y$ are subexponential and also cases where they are not. In addition, the asymptotic behavior of linear combinations of such risks with positive coefficients is explored leading to an approximate solution of an optimization problem which is applied to portfolio design.

研究の動機と目的

• Gumbel分布の最大吸引域に属する漸近的独立リスクの2つ以上の和の漸近的尾挙動を分析すること。
• 独立性を超えた漸近的独立性の下でのリスク集約に関する既存結果を、特に周辺分布が部分的指数的でない場合にも拡張すること。
• 和の尾 $X+Y$ が $ (1+c)P(X>x) $ と漸近的に等価となるような十分条件を提示すること、ここで $ c = \lim_{x\to\infty} P(Y>x)/P(X>x) $ である。
• 正の係数を持つこのようなリスクの線形結合の漸近的挙動を調査し、その結果を近似ポートフォリオ設計最適化に応用すること。
• 数値実験を通じて超過確率の漸近的近似の正確性を評価し、最適化問題における近似解の品質と関連付けること。

提案手法

• $(X,Y)$ の連続分布に対して、$ \lim_{x\to\infty} \frac{P(X+Y>x)}{P(X>x)} = 1 + c $ が成り立つような十分条件を導出する。ここで $ c = \lim_{x\to\infty} \frac{P(Y>x)}{P(X>x)} $ である。
• 正規化された尾挙動に正則変動および収束条件を課し、連続分布の極値分布がGumbel型の積に収束することを保証する。
• Gumbel分布の最大吸引域 ($MDA(\Lambda)$) の性質と、二変量極値極限を用いた漸近的独立性の概念を用いる。
• 2変数の結果を非負かつ同じ尾等価条件を満たす $n$ 変数の和へと拡張し、周辺尾の定数倍と漸近的に等価であることを維持する。
• 漸近的等価性を正の係数を持つ線形結合 $ \tilde{a}_1X + \tilde{a}_2Y $ に応用し、ポートフォリオ最適化問題の近似解を導出する。
• 10,000サンプルを用いたモンテカルロシミュレーションにより、超過確率を推定し、相関係数 $\rho = -0.9, 0, 0.9$ の異なるレベルにおける近似解と真の最適解の相対誤差を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MDA(\Lambda) に属する2つの漸近的独立リスクの和が、単一リスクの尾の定数倍と漸近的に等価となる条件は何か？
• RQ2 周辺分布が同一分布でない、あるいは $MDA(\Lambda)$ に属さないより軽い尾を持つ場合に、漸近的尾等価性 $ P(X+Y>x) \sim (1+c)P(X>x) $ は拡張可能か？
• RQ3 実際のポートフォリオ最適化に応用する際、$ P(X+Y>x) \approx (1+c)P(X>x) $ という漸近的近似の正確性はどの程度か？
• RQ4 漸近的近似の正確性と、ポートフォリオ設計問題における近似解の性能との間にはどのような関係があるか？
• RQ5 $MDA(\Lambda)$ に属する漸近的独立な分布のうち、$ \lim_{x\to\infty} \frac{P(X+Y>x)}{P(X>x)} $ が存在し、2でも $\infty$ でもない、厳密に中間の値をとるものは存在するか？

主な発見

• 周辺分布 $X,Y$ が $MDA(\Lambda)$ に属し、$ c = \lim_{x\to\infty} P(Y>x)/P(X>x) \in (0,\infty) $ である場合、本稿は $ \lim_{x\to\infty} \frac{P(X+Y>x)}{P(X>x)} = 1 + c $ を確立する。$c=1$ の場合、$P(X+Y>x) \sim 2P(X>x)$ が成り立つ。
• 限界 $c$ が存在し有限であれば、一方の周辺分布がより軽い尾を持つ場合でも（$MDA(\Lambda)$ に属さない場合でも）この結果は成り立つ。
• $X$ と $Y$ が非負であり、尾等価条件を満たす場合、この結果は2つ以上のリスクの和へと拡張され、$ (1 + \sum c_i)P(X>x) $ と漸近的に等価であることが保たれる。
• 数値実験の結果、$\rho = -0.9$ および $\rho = 0$ の場合、閾値 $x \geq 5$ に対して、近似解と真の最適ポートフォリオ確率の相対誤差は10%未満であり、良好な近似精度が得られた。
• $\rho = 0.9$ の場合、相対誤差は増加する（$x=20$ で最大81%）が、両方の重みが正である限り、近似解は真の最適解と同程度のオーダーに留まる。
• 本研究は、漸近的近似が正確である場合、それに応じたポートフォリオ最適化問題の近似解も正確であり、逆に近似解が正確であれば漸近的近似も正確であることを確認した。