[論文レビュー] Aleksandrov-Clark measures and semigroups of analytic functions in the unit disc

Filippo Bracci, Manuel D. Contreras+1 more|ArXiv.org|Jan 29, 2007

advanced mathematical theories参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、単位円板上の連続な正則自己準同型の半群の無限小生成作用素に対して、アレクサンドロフ＝クラーク測度を用いて測度論的公式を確立する。境界正則固定点におけるアレクサンドロフ＝クラーク測度が弱*位相において時間に関して微分可能であることを証明し、スペクトル測度および調和関数論を用いてベルクソン＝ポルタの公式を境界動的特性に一般化する。

ABSTRACT

In this paper we prove a formula describing the infinitesimal generator of a continuous semigroup $(\v_t)$ of holomorphic self-maps of the unit disc with respect to a boundary regular fixed point. The result is based on Alexandrov-Clark measures techniques. In particular we prove that the Alexandrov-Clark measure of $(\v_t)$ at a boundary regular fixed points is differentiable (in the weak$^\ast$-topology) with respect to $t$.

研究の動機と目的

• 無限小生成作用素のベルクソン＝ポルタの公式を、測度論的技法を用いて境界正則固定点に一般化すること。
• 単位円板内の正則自己準同型の連続半群に関連するアレクサンドロフ＝クラーク測度の弱*位相における微分可能性を分析すること。
• 関連するスペクトル測度の境界挙動を通じて、半群の無限小生成作用素を特徴付けること。
• 境界拡大係数と境界正則固定点におけるアレクサンドロフ＝クラーク測度の弱*微分との間の関係を確立すること。

提案手法

• 正則自己準同型のポテンシャル積分による定義された、単位円板におけるアレクサンドロフ＝クラーク測度の使用。
• 古典的ジュリア＝ヴォルフ＝カラテオドリの定理およびネヴァンリンナの定理の応用（角微分とアレクサンドロフ＝クラーク測度における原子質量との関係）。
• ボレル測度の空間における弱*位相の分析を通じて、時間 $t$ に関する測度族 $\mu_{t,\tau}$ の微分可能性を確立すること。
• $t=0$ における $\mu_{t,\tau}$ の弱*微分の公式を、無限小生成作用素 $G$ および境界拡大係数 $\lambda$ を用いて導出すること。
• 正則ベクトル場の構造を用いて、無限小生成作用素 $G$ を、デニョイ＝ウルフ点 $\tau$ を持つ放物型部分 $H_1$ と、$\lambda \neq 0$ のときの双曲型自己同型群を生成する部分 $H_2$ に分解すること。
• ポisson核および境界極限を用いて、$G(z)$ の実部を、$r \to 1$ の弱*極限におけるアレクサンドロフ＝クラーク測度の密度と関連付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則自己準同型の半群の無限小生成作用素は、境界正則固定点におけるそのアレクサンドロフ＝クラーク測度の時間微分とどのように関係するか？
• RQ2 アレクサンドロフ＝クラーク測度が弱*位相において微分可能となる条件は何か？
• RQ3 スペクトル測度を用いて、ベルクソン＝ポルタの公式をデニョイ＝ウルフ点を超えて任意の境界正則固定点に一般化できるか？
• RQ4 境界正則固定点 $\tau$ が非ゼロの境界拡大係数 $\lambda$ を持つとき、無限小生成作用素 $G$ の正確な構造は何か？

主な発見

• 境界正則固定点 $\tau$ における連続半群 $\varphi_t$ のアレクサンドロフ＝クラーク測度 $\mu_{t,\tau}$ は、時間 $t$ に関して弱*位相で微分可能であり、$t=0$ におけるその微分は、無限小生成作用素 $G$ と境界拡大係数 $\lambda$ を含む公式で与えられる。
• $t \to 0$ のとき、測度 $\mu_{t,\tau}$ のポテンシャル積分の弱*極限は、$m$-ほとんど everywhere な $\xi \in \partial\mathbb{D}$ に対して、$2\,\text{Re}\left[\frac{G^*(\xi)\tau}{(\tau - \xi)^2}\right]$ に等しい密度をもつ。
• すべての $f \in C(\partial\mathbb{D})$ に対して、積分 $\int_{\partial\mathbb{D}} f(\zeta)\,d\mu(\zeta)$ は、$r \to 1$ のとき、$2\,\text{Re}\left[\frac{G(r\zeta)\tau}{(\tau - r\zeta)^2}\right] + \lambda\,\text{Re}\left[\frac{\tau + r\zeta}{\tau - r\zeta}\right]$ を含む積分の弱*極限に等しい。
• 半群の無限小生成作用素 $G$ は、$G = H_1 + H_2$ と分解可能であり、$H_1$ はデニョイ＝ウルフ点 $\tau$ を持つ放物型半群を生成し、$\lambda \neq 0$ のとき $H_2$ は双曲型自己同型群を生成する。
• 境界拡大係数 $\lambda$ は、非接線的極限 $\angle\lim_{z \to \tau} G'(z)$ に一致し、$\varphi_t'(\tau) = e^{\lambda t}$ が成り立つ。