[論文レビュー] Invariant Gibbs Measure for 3D NLW in Infinite Volume

Samantha Xu|arXiv (Cornell University)|May 15, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 28被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、3次元径対称非線形波動方程式の無限体積におけるギブズ測度の構成と不変性を、多重時刻ファインマン＝ヘイズ公式と有限速度伝播の性質を用いて証明する。局所的well-posednessと無限体積におけるほぼ確実な全時間的存在性が、重み付きホルダー連続関数の空間上で確立され、1次元系を超える無限体積系における初めてのこのような構成である。

ABSTRACT

Consider the radial nonlinear wave equation $-\partial_t^2 u + Δu = u^3$, $u :\mathbb{R}_t imes \mathbb{R}_x^3 o \mathbb{R}$, $u(t,x) = u(t,|x|)$. In this paper, we construct a Gibbs measure for this system and prove its invariance under the flow of the NLW. In particular, we are in the infinite volume setting. For the finite volume analogue, specifically on the unit ball with zero boundary values, an invariant Gibbs measure was constructed by Burq, Tvetkov, and de Suzzoni as a Borel measure on super-critical Sobolev spaces. In this paper, we advocate that the finite volume Gibbs measure be considered on a space of weighted Hölder continuous functions. The measure is supported on this space and the NLW is locally well-posed there, a counter-point to the Sobolev super-criticality noted by Burq and Tzvetkov. Furthermore, the flow of the NLW leaves this measure invariant. We use a multi-time Feynman--Kac formula to construct the infinite volume limit measure by computing the asymptotics of the fundamental solution of an appropriate parabolic PDE. We use finite speed of propagation and results from descriptive set theory to establish invariance of the infinite volume measure. To the best of our knowledge, this paper provides the first construction and proof of invariance of a Gibbs measure in infinite volume outside of the 1D case.

研究の動機と目的

• Sobolev空間において超臨界となる3次元径対称非焦点的立方非線形波動方程式（3D radial defocusing cubic NLW）の無限体積におけるギブズ測度の構成。
• 非線形波動方程式のフローが、Sobolev設定における超臨界性にもかかわらず、このギブズ測度を全時間にわたり不変に保つことの証明。
• 先行研究で用いられた超臨界Sobolev設定とは対照的に、有限体積ギブズ測度の自然な台となる重み付きホルダー空間を提唱すること。
• 放物型PDEの基本解の漸近挙動の分析を通じて、有限体積ギブズ測度の無限体積極限を確立すること。
• 有限速度伝播と記述的集合論の道具を用いて、無限体積測度の不変性を証明すること。

提案手法

• 重み付きホルダー連続関数の空間上に有限体積ギブズ測度を構成し、その上でNLWの局所的well-posednessを示す。
• 時間に依存するポテンシャルをもつ放物型PDEの基本解の漸近挙動を計算するために、多重時刻ファインマン＝ヘイズ公式を適用する。
• 放物型PDEの遷移密度のスケーリング極限を通じて、有限体積測度の無限体積極限を用いる。
• ブラウン運動のマルコフ性と繰り返しダムベル展開を用いて、多重時刻ファインマン＝ヘイズ公式を導出する。
• 有限速度伝播を活用して動的を局所化し、空間スケール間での一貫性を保証する。
• 記述的集合論を用いて、NLWフロー下での無限体積測度の可測性と不変性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sobolev空間において超臨界となる3次元径対称NLWの無限体積におけるギブズ測度を構成することは可能か？
• RQ2 非線形波動方程式のフローは、そのようなギブズ測度の台上で無限体積において測度を保存するか？
• RQ3 重み付きホルダー空間上の有限体積ギブズ測度は、超臨界Sobolev設定に比べてより良い正則性とwell-posednessをもたらすか？
• RQ4 放物型PDEの漸近挙動を用いて、有限体積ギブズ測度の無限体積極限を厳密に構成できるか？
• RQ5 不変性の証明に必要な確率解析および記述的集合論の道具は何か？

主な発見

• 本稿は、3次元径対称NLWの無限体積におけるギブズ測度 $ m_{ u} = m_{ u,1} \otimes m_{ u,2} $ を構成し、重み付きホルダー連続関数の空間に台を持つ。
• NLWは測度の台上で局所的にwell-posedであり、先行研究のSobolevベースの構成で指摘された超臨界性の問題が解決される。
• NLWのフローは、全時間にわたり無限体積ギブズ測度を不変に保ち、全時間における測度保存的ダイナミクスが確立される。
• 無限体積測度は、時間に依存するポテンシャルをもつ放物型PDEの基本解の漸近挙動を用いて極限として構成される。
• 不変性の証明は、有限速度伝播と記述的集合論の結果に依拠しており、可測性と不変性を保証する。
• 本研究は、1次元系を除く3次元波動方程式の無限体積におけるギブズ測度の初の構成と不変性の証明を提供する。