[論文レビュー] Alg\\`ebres de Hecke avec param\\`etres et repr\\'esentations d'un groupe p-adique classique: pr\\'eservation du spectre temp\\'er\\'e

Volker Heiermann|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$p$-進古典的群（直交群、シンプレクティック群、一般線型群の内部形式）の滑らかな表現の Bernstein 成分同士の同値性が、Hecke 環のパラメータ付きモジュールとの間で、臨界スペクトルおよび離散系列表現を保存することを確立する。主な結果は、誘導表現 $i_P^G E_{B_{\mathcal{O}}}$ によって誘導されるモーリタ同値が、臨界および離散系列構造を尊重することを確認しており、これらのカテゴリの代数的構造に関する先行研究を拡張する。

ABSTRACT

Let G be an orthogonal or symplectic p-adic group (not necessarily split) or an inner form of a general linear p-adic group. In a previous paper, it was shown that the Bernstein components of the category of smooth representations of G are equivalent to the category of right modules over some Hecke algebra with parameters, or more general over the semi-direct product of such an algebra with a finite group algebra. The aim of the present paper is to show that this equivalence preserves the tem- pered spectrum and the discrete series representations.

研究の動機と目的

• $p$-進古典的群の滑らかな表現の Bernstein 成分とパラメータ付き Hecke 環上のモジュールとの間のモーリタ同値性を、臨界スペクトルおよび離散系列にまで拡張すること。
• 誘導表現 $i_P^G E_{B_{\mathcal{O}}}$ によって誘導される同値が、$p$-進古典的群における臨界および離散系列構造を保存することを確立すること。
• Hecke モジュールの指数と $G$-表現のジャコネットモジュールの関係を分析し、スペクトル保存を証明すること。
• 非分裂または内部形式を含む $p$-進群の文脈において、モーリタ同値下でのスペクトル的性質（臨界性および中心を除く平方可積分性）が不変であることを検証すること。
• $p$-進群の表現論とパラメータ付き Hecke 環のモジュール論との間に構造的リンクを提供し、重要なスペクトル不変量が保存されることを保証すること。

提案手法

• 固定された Bernstein 成分 $\mathcal{O}$ に関連する非可約対を伴う $p$-進群 $G$ の滑らかな表現のカテゴリの Bernstein 分解を用いる。
• 誘導表現 $i_P^G E_{B_{\mathcal{O}}}$ を Bernstein 成分 $Rep_{\mathcal{O}}(G)$ のプロジェネレータとして用い、Hecke 環 $\mathcal{H}$ 上の右モジュールのカテゴリとの間でモーリタ同値を誘導する。
• 自己準同型代数 $\mathcal{H} = \mathrm{End}_G(i_P^G E_{B_{\mathcal{O}}})$ を、Lusztig の意味でのパラメータ付き Hecke 環と有限群代数の半直積として特定する。
• Weyl 群作用および根系を介して、$\mathcal{H}$-モジュールの指数と $G$-表現のジャコネットモジュールの指数を関連付ける。
• 非アルキメデス的根系理論および Weyl 群作用を適用し、同値の両側でスペクトルデータ（固有値および特徴方程式の実部）を比較する。
• 標準的および反標準的パラボリック部分群の構造と Lie 代数の分解を用いて、特徴方程式の係数とその実部の振る舞いを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ付き Hecke 環上のモジュールとの間の、$p$-進古典的群の滑らかな表現のカテゴリとモーリタ同値性は、臨界スペクトルを保存するか？
• RQ2 この同値性の下で、離散系列表現は離散系列表現に写されるか？
• RQ3 Hecke モジュールの指数は、$G$-表現のジャコネットモジュールの指数とどのように関係するか？
• RQ4 スペクトル不変量（臨界性および中心を除く平方可積分性）は、Hecke 環の構造を通じて代数的に特徴付けられるか？
• RQ5 非分裂または内部形式を含む $p$-進群の文脈において、Weyl 群作用および根系分解の下で、臨界スペクトルの保存性は安定か？

主な発見

• 写像 $V \mapsto \mathrm{Hom}_G(i_P^G E_{B_{\mathcal{O}}}, V)$ によるモーリタ同値は、$G$-表現の臨界スペクトルを保存する。
• 同値は離散系列表現を保存する。つまり、表現が離散系列であるための必要十分条件は、その同値像が Hecke 環上の離散系列モジュールであることである。
• $\mathcal{H}$-モジュールの指数が、$G$-表現のジャコネットモジュールの指数と一致することが示され、スペクトル対応が確立される。
• 中心を除く平方可積分型の表現は、同値によって正確にそれに対応する Hecke 環上の離散系列モジュールに写される。
• 証明は、Weyl 群作用および根系分解（$B_d$、$D_d$、$A_{d-1}$ の型を含む）が、重み分解における係数の符号を制御することに依存しており、非正の係数が臨界または離散系列に対応することを保証する。
• 臨界の場合、Weyl 元 $w_{0,1}$ の作用から $\lambda_{1,d_1} = 0$ が導かれる。これは重みが正の根の非正の線形結合であることを示し、これが臨界性を特徴付ける。