[論文レビュー] Algebra in the superextensions of semilattices

Тарас Банах, Volodymyr Gavrylkiv|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2010

Advanced Algebra and Logic参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、半畳順序集合上の上家族（upfamilies）、フィルター、超フィルター、および関連する半群（例えば、$υ(X)$, $λ(X)$, $φ(X)$）の代数的構造を調査する。主な結果として、$υ(X)$, $λ(X)$, $φ(X)$ が半畳順序集合であるための必要十分条件は、基礎となる半畳順序集合 $X$ が有限かつ線形順序付けられていることである。また、$β(X)$ がバンドである条件や、$λ(X)$ が可換である条件について、$X$ の構造に基づいて特徴づけられる。本研究は、Stone-Čechコンパクト化の代数的理論を、半畳順序集合上のより広いクラスの上家族へと拡張する。

ABSTRACT

Given a semilattice $X$ we study the algebraic properties of the semigroup $\upsilon(X)$ of upfamilies on $X$. The semigroup $\upsilon(X)$ contains the Stone-Cech extension $β(X)$, the superextension $λ(X)$, and the space of filters $ϕ(X)$ on $X$ as closed subsemigroups. We prove that $\upsilon(X)$ is a semilattice iff $λ(X)$ is a semilattice iff $ϕ(X)$ is a semilattice iff the semilattice $X$ is finite and linearly ordered. We prove that the semigroup $β(X)$ is a band if and only if $X$ has no infinite antichains, and the semigroup $λ(X)$ is commutative if and only if $X$ is a bush with finite branches.

研究の動機と目的

• 半畳順序集合 $X$ 上の上家族の半群 $υ(X)$ の代数的性質を分析すること。
• $υ(X)$, $λ(X)$, $φ(X)$, $β(X)$ が半畳順序集合、バンド、または可換半群である条件を特徴づけること。
• これらのスーパー拡張半群が $X$ の代数的性質を引き継ぐために必要な $X$ の構造的条件を同定すること。
• 超フィルターの $β(X)$ における既知の結果を、$υ(X)$ のより広いクラスの上家族へと拡張すること。

提案手法

• $X$ から $υ(X)$ への二項演算の拡張を、公式 $\mathcal{U} * \mathcal{V} = \langle \bigcup_{x\in U} x*V_x : U\in\mathcal{U}, (V_x)_{x\in U}\in\mathcal{V}^U \rangle$ を用いて定義し、上家族上の半群演算を定義する。
• 部分半群の定義と分析：$β(X)$（超フィルター）、$λ(X)$（最大連結系／スーパー拡張）、$φ(X)$（フィルター）、$N_2(X)$（連結上家族）。
• 位相的および順序理論的道具の適用：$υ(X)$ におけるコンパクトハウスドルフ位相、包含による順序、上家族を上セットとしての構造。
• $λ(4)$ の図式的および組合せ的解析を用いて非線形性を示し、$λ(X)$ が線形であるのは $X$ が有限かつ線形順序付けられている場合に限ることを証明する。
• ラティス理論的推論を用いて、$υ(X)$, $λ(X)$, $φ(X)$ がラティスであるのは $X$ がサイズ2以下の線形ラティスである場合に限ることを示す。
• $X=3$ における反例を用いて、$λ(3)$ と $φ(3)$ がラティスでないことを示し、必要な条件の最小性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半畳順序集合 $X$ 上の上家族の半群 $\upsilon(X)$ が半畳順序集合であるのはいつか？
• RQ2 半畳順序集合 $X$ のスーパー拡張 $\lambda(X)$ が可換半群であるのはどのような条件下か？
• RQ3 Stone-Čech拡張 $\beta(X)$ がバンドであるのはいつか？
• RQ4 $\lambda(X)$ の線形性と $X$ の構造との関係は何か？
• RQ5 どのラティス $X$ に対して $\upsilon(X)$, $\lambda(X)$, または $\varphi(X)$ がラティスであるか？

主な発見

• 半群 $\upsilon(X)$ が半畳順序集合であるのは、$X$ が有限かつ線形順序付けられた半畳順序集合である場合に限る。
• スーパー拡張 $\lambda(X)$ が半畳順序集合であるのは、$X$ が有限かつ線形順序付けられている場合に限る。
• フィルターの空間 $\varphi(X)$ が半畳順序集合であるのは、$X$ が有限かつ線形順序付けられている場合に限る。
• 半群 $\beta(X)$ がバンドであるのは、$X$ に無限大反鎖が存在しない場合に限る。
• スーパー拡張 $\lambda(X)$ が可換であるのは、$X$ が有限分岐を持つバッシュ（bush）である場合に限る。
• $\upsilon(X)$, $\lambda(X)$, $\varphi(X)$ がラティスであるのは、$X$ がサイズ2以下の線形ラティスである場合に限る。