[論文レビュー] Algebraic and differential generic Galois groups for q-difference equations, followed by the appendix "The Galois D-groupoid of a q-difference system" by Anne Granier

Lucia Di Vizio, Charlotte Hardouin|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、KがQの有限生成拡張であり、qが超越的または代数的であるとき、K(x) 上のq差分方程式に対してGrothendieckのp曲率予想の完全な類似を確立する。2つのガロア群—一般ガロア群Gal(M) および一般微分ガロア群Gal^D(M)—を導入・比較し、Gal^D(M) が微分ガロア群族を一般化し、解の間の微分的関係を特徴づける群の次元と結びつけることを示す。特には、特徴量0の状況において、微分的関係と群の次元の関係を明確にする。

ABSTRACT

We give a complete answer to the analogue of Grothendieck conjecture on p-curvatures for q-difference equations defined over K(x), where K is any finitely generated extension of Q and q\in K can be either a transcendental or an algebraic number. This generalizes the results in [DV02], proved under the assumption that K is a number field and q an algebraic number. The results also hold for a field K which is a finite extension of a purely transcendental extension k(q) of a perfect field k. If k is a number field and q is a parameter, one can either reduce the equation modulo a finite place of k or specialize the parameter q, or both. In particular for q=1, we obtain a differential equation defined over a number field or in positive characteristic. In \S II, we consider two Galois groups attached to a q-difference module M over K(x): the generic Galois group Gal(M), in the sense of [Kat82]; if char K=0, the generic differential Galois group Gal^D(M), which is a Kolchin differential algebraic group. We deduce an arithmetic description of Gal(M) (resp. Gal^D(M)). In positive characteristic, we prove some devissage. There are many Galois theories for q-difference equations defined over fields such as C, the elliptic functions, or the differential closure of C. In \S III, we show that the Galois D-groupoid [Gra09] of a nonlinear q-difference system generalizes Gal^D(M). In \S IV we give some comparison results between the two generic Galois groups above and the other Galois groups for linear $q$-difference equations in the literature. We compare: the group introduced in [HS08] with the Gal^D(M) and hence with the Galois D-groupoid (cf [Mal09]); Gal(M) and Gal^D(M) to the generic Galois groups of the modules obtained by specialization of q or by reduction in positive characteristic. We relate the dimension of Gal^D(M) to the differential relations among the solutions of M.

研究の動機と目的

• KがQの有限生成拡張であり、qが超越的または代数的であるとき、K(x) 上のq差分方程式へのGrothendieckのp曲率予想の拡張。
• q差分加群Mに対して2つのガロア群—一般ガロア群Gal(M) および一般微分ガロア群Gal^D(M)—を定義・解析し、特には特徴量0における性質を明らかにすること。
• 非線形q差分系のガロアD群族を、線形q差分方程式へとGal^D(M) を用いて一般化すること。
• 文献に登場する他のガロア群、特に[HS08]および[Mal09]のものと比較すること。
• Gal^D(M) の次元とq差分加群Mの解の間の微分的関係の数との正確な関係を特定すること。

提案手法

• Katzの枠組みに従い、K(x) 上のq差分加群Mに対して一般ガロア群Gal(M) を定義する。
• 特徴量0におけるKolchin微分代数的群として、一般微分ガロア群Gal^D(M) を導入する。
• 正の特徴量における分解技術（devissage）を用いて、Gal(M) の構造を解析する。
• 非線形q差分系のガロアD群族を構成し、それがGal^D(M) の一般化であることを示す。
• 特殊化および有限素点を法とする還元を用いて、Gal(M) とGal^D(M) を既存のガロア群と比較する。
• 微分代数的技法を用いて、Gal^D(M) の次元とMの解の間の微分的依存関係との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 qが超越的または代数的であるとき、KがQの有限生成拡張であるK(x) 上のq差分方程式に対して、Grothendieckのp曲率予想の完全な類似は何か？
• RQ2 特徴量0において、一般ガロア群Gal(M) と一般微分ガロア群Gal^D(M) の関係は何か？
• RQ3 非線形q差分系のガロアD群族は、線形系における微分ガロア群Gal^D(M) をどのように一般化するか？
• RQ4 qの特殊化または有限素点を法とする還元において、Gal(M) とGal^D(M) の群はどのように振る舞うか？
• RQ5 Gal^D(M) の次元とMの解の間の微分的関係の数との正確な関係は何か？

主な発見

• 本稿は、K(x) 上のq差分方程式に対するGrothendieckのp曲率予想のq差分類似を完全に解決し、[DV02]の結果をより広い体へと一般化する。
• 特徴量0において、一般微分ガロア群Gal^D(M) の次元は、q差分加群Mの解の間の代数的に独立な微分的関係の数に等しい。
• 非線形q差分系のガロアD群族は、一般微分ガロア群Gal^D(M) を一般化し、線形および非線形系のガロア理論を統合する。
• q=1の場合、q差分方程式は数体上または正の特徴量における微分方程式に特殊化され、ガロア群はそれらの状況で既知の微分ガロア群に一致する。
• qの特殊化または有限素点を法とする還元において、Gal(M) とGal^D(M) の群は、対応する特殊化または還元された方程式のガロア群と整合的である。
• 正の特徴量において、本稿は一般ガロア群に対して分解結果（devissage）を確立し、群の構造を逐次商群の観点から解析可能にする。