[論文レビュー] Algebraic curves uniformized by congruence subgroups of triangle groups

Pete L. Clark, John Voight|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 35被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、双曲的三角形群の合同部分群を導入し、それらによって均質化されるガロア・ベリィ曲線を構成する。これにより、数体上での正規ガロア群として PSL₂(𝔽ₚ) および PGL₂(𝔽ₚ) を実現する。主な貢献は、これらの曲線のモジュライ体および有理型体を特定し、それらが有理角の余弦値によって生成される数体の高々二次拡大体上に定義されることを示すことである。

ABSTRACT

We construct certain subgroups of hyperbolic triangle groups which we call "congruence" subgroups. These groups include the classical congruence subgroups of SL_2(ZZ), Hecke triangle groups, and 19 families of arithmetic triangle groups associated to Shimura curves. We determine the field of moduli of the curves associated to these groups and thereby realize the groups PSL_2(q) and PGL_2(q) regularly as Galois groups.

研究の動機と目的

• 双曲的三角形群内に新しい合同部分群のクラスを定義・研究し、古典的モジュラー曲線を一般化すること。
• これらの部分群によって均質化されるガロア・ベリィ曲線の存在および算術的性質を調査すること。
• 特にガロア群が PSL₂(𝔽ₚ) または PGL₂(𝔽ₚ) の場合に、そのような曲線のモジュライ体および有理型体を特定すること。
• これらの構成を通じて、PSL₂(𝔽ₚ) および PGL₂(𝔽ₚ) を数体上での正規ガロア群として実現すること。
• 弱剛性およびフロベニウス作用が、これらの曲線が定義される体を決定する役割を果たすかを検討すること。

提案手法

• 角度 (0, π/2, π/n) の双曲的反射三角形を用いて三角形群を定義し、ヘッケおよび古典的モジュラー群を一般化する。
• トレース体および整数環に対する算術的条件を用いて、これらの三角形群の「合同」部分群を導入する。
• ベリィ写像および三重点分岐被覆の理論を用い、モノドロミーが PSL₂(𝔽ₚ) または PGL₂(𝔽ₚ) である ℙ¹ へのガロア被覆を構成する。
• 類体論およびフロベニウス元を用いて、余弦値によって生成される体 E(a,b,c)、F(a,b,c)、D(a,b,c) における素数の分解挙動を分析する。
• ガロア下降および絶対ガロア群の作用を用いて、曲線 X のモジュライ体 M(X) および対 (X,G) のモジュライ体を計算する。
• 明示的な曲線の方程式および j 不変量を用いて、体拡大を検証し、有理型および同種不変量に関する予想を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの双曲的三重組 (a,b,c) および素数 p に対して、三角形群の合同部分群がモノドロミーが PSL₂(𝔽ₚ) または PGL₂(𝔽ₚ) であるガロア・ベリィ曲線をもたらすか？
• RQ2 このような曲線 X のモジュライ体 M(X) は何か？ また、基本体 E(a,b,c) およびその拡大体とどのように関係するか？
• RQ3 モジュライ体 M(X) が有理型体に等しくなるのはいつか？ また、いつそれが必要として二次拡大をとるか？
• RQ4 F(a,b,c) における p の分解挙動は、ガロア群が PSL₂(𝔽ₚ) か PGL₂(𝔽ₚ) かをどのように決定するか？
• RQ5 弱剛性の失敗がモジュライ体における非自明な体拡大を引き起こすことはあり得るか？ そのような現象は明示的な曲線方程式にどのように現れるか？

主な発見

• 双曲的三重組 (a,b,c) および F(a,b,c) で不分岐な E(a,b,c) の素数 p に対して、p が F(a,b,c) で完全に分解する場合、G ≅ PSL₂(𝔽ₚ) である G-ガロア・ベリィ写像が存在し、そうでない場合は G ≅ PGL₂(𝔽ₚ) である。
• 曲線 X(a,b,c;p) のモジュライ体 M(X) は E(a,b,c) の高々二次拡大であり、(3,4,7;7) の場合、M(X) は ℚ(√2) に等しい。
• 対 (X,G) のモジュライ体 M(X,G) は、曲線 X(3,4,7;7) に対して M(X)(√−7) に等しく、この体は ℚ(√2,√−7) に等しい。
• (3,5,6;11) の三重組に対して、モジュライ体 M(X) は ℚ(√5) の高々二次拡大であり、曲線 X₀(3,5,6;11) の genus は 2 である。
• A₅ ≤ PSL₂(𝔽₁₁) から生じる X(3,5,6;11) の楕円曲線商は、β が判別式 N(β) = 11² を持つ二次方程式を満たすとき、ℚ(√3,√5,√β) 上に定義される。
• この楕円曲線の j 不変量は、体 ℚ(√5,√3,√β) を生成し、モジュライ体が非自明であり、定理 A の理論的予測と整合的であることを確認する。